Математический анализ Примеры

$y = \frac{2}{3} \sqrt{2 x^{2} + 6 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x^{2} + 6 x}$ в виде ${(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 x^{2} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{{(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Этап 9

Перенесем ${(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Этап 10

Умножим $\frac{1}{2 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Этап 11

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2}{6 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Этап 12

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{6 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Этап 13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $2$ из $6 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Этап 14

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 15

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 17

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 18

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6 \cdot 1)$

Этап 20

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6)$

Этап 21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6)$ .

$(4 x + 6) \frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.2

Умножим $4 x + 6$ на $\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x + 6}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.3

Вынесем множитель $2$ из $4 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) + 6}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (3)}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (2 x + 3)}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$