Математический анализ Примеры

$y'''' = \frac{3 y}{x}$ , $y = x^{3}$

Этап 1

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 1.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 3 x^{2}$

Этап 2

Найдем $y''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим производную.

$y'' = \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y'' = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y'' = 3 (2 x)$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$y'' = 6 x$

Этап 3

Найдем $y'''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим производную.

$y''' = \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y''' = 6 \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $6$ на $1$ .

$y''' = 6$

Этап 4

Найдем $y''''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим производную.

$y'''' = \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$y'''' = 0$

Этап 5

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$0 = \frac{3 x^{3}}{x}$

Этап 6

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{3}$ .

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x}$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x^{1}}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель.

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Этап 6.2.4

Перепишем это выражение.

$0 = \frac{3 x^{2}}{1}$

Этап 6.2.5

Разделим $3 x^{2}$ на $1$ .

$0 = 3 x^{2}$

Этап 7

Данное решение не удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

$y = x^{3}$ не является решением уравнения $y'''' = \frac{3 y}{x}$