Математический анализ Примеры

$\int (x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2} + 1}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + x + C + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + x + C + \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 5.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + x + C + \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + x + C + \arctan (x) + C$

Этап 7

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} + x + \arctan (x) + C$