Математический анализ Примеры

$\int \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $- d u = - \sec^{2} (x) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Этап 2.1.2

Перепишем это выражение.

$\int 1 (1 - u^{2}) d u$

Этап 2.2

Умножим $1 - u^{2}$ на $1$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$u + C - \int u^{2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 7

Упростим.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$\tan (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$