Математический анализ Примеры

$y^{3} = \frac{x - y}{x + y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{3}) = \frac{d}{d x} (\frac{x - y}{x + y})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - y$ и $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.6

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + y) (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Развернем $(x + y) (1 - y')$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (1 - y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.2.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x - x y' + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.1.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{x - x y' + y + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.1.3

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + 1 y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.1.4

Развернем $(- x + y) (1 + y')$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x (1 + y') + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.1.5.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.2

Объединим противоположные члены в $x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{- x y' + y - y y' + 0 - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.2.2

Добавим $- x y' + y - y y'$ и $0$ .

$\frac{- x y' + y - y y' - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.2.3

Добавим $- y y'$ и $y y'$ .

$\frac{- x y' + y - x y' + y + 0}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.2.4

Добавим $- x y' + y - x y' + y$ и $0$ .

$\frac{- x y' + y - x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.3

Вычтем $x y'$ из $- x y'$ .

$\frac{- 2 x y' + y + y}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.2.4

Добавим $y$ и $y$ .

$\frac{- 2 x y' + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x y' + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x y'$ .

$\frac{2 (- x y') + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{2 (- x y') + 2 (y)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x y') + 2 (y)$ .

$\frac{2 (- x y' + y)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x y'$ .

$\frac{2 (- (x y') + y)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$\frac{2 (- (x y') - 1 (- y))}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{2 (- (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.7

Перепишем $- (x y' - y)$ в виде $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.7.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 y^{2} y' = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на ${(x + y)}^{2}$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель ${(x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$ в числитель.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y' - y)$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y') - 2 (- y)$

Этап 5.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 x y' + 2 y$

Этап 5.2.1.3.2

Перенесем $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 y' x + 2 y$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Добавим $2 y' x$ к обеим частям уравнения.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Перепишем ${(x + y)}^{2}$ в виде $(x + y) (x + y)$ .

$3 y^{2} y' ((x + y) (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.2

Развернем $(x + y) (x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} y' (x (x + y) + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.3.2

Добавим $x y$ и $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.3.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.3.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{2} y' (2 x y) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.5.1

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.5.1.1

Перенесем $y$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y \cdot y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.5.1.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.5.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y^{1} y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{1 + 2} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.5.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.5.2

Умножим $y^{2}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.5.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 (y^{2} y^{2}) y' + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2 + 2} y' + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.5.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.1.2.6

Умножим $2$ на $3$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y' x^{2}$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $6 y^{3} y' x$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{4} y'$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + 2 y' x = 2 y$

Этап 5.3.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $2 y' x$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Этап 5.3.2.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x)$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Этап 5.3.2.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4})$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Этап 5.3.2.7

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x)$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ на $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ на $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$