Математический анализ Примеры

$\sqrt{u} + \sqrt{v} = 5$

Этап 1

Запишем левую часть в виде рациональных экспонент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$u^{\frac{1}{2}} + \sqrt{u'} = 5$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u'}$ в виде ${u'}^{\frac{1}{2}}$ .

$u^{\frac{1}{2}} + {u'}^{\frac{1}{2}} = 5$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d u'} (u^{\frac{1}{2}} + {u'}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d u'} \cdot 5$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $u^{\frac{1}{2}} + {u'}^{\frac{1}{2}}$ по $u'$ имеет вид $\frac{d}{d v} [u^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d v} [u^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d v} [u^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ имеет вид $f' (g (u')) g' (u')$ , где $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ и $g (u') = u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $u$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [u] + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [u] + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $u$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [u] + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d v} [u]$ в виде $u'$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2} u' + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.9

Объединим $\frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $u'$ .

$\frac{u^{- \frac{1}{2}} u'}{2} + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.10

Перенесем $u^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [{u'}^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ имеет вид $n {u'}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 3.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 3.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 3.3.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 3.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u'}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u'}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{{u'}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Поскольку $5$ является константой относительно $u'$ , производная $5$ относительно $u'$ равна $0$ .

$0$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6

Решим относительно $u'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 u^{\frac{1}{2}}, 2 {u'}^{\frac{1}{2}}, 1$

Этап 6.1.2

Так как $2 u^{\frac{1}{2}}, 2 {u'}^{\frac{1}{2}}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 2, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $u^{\frac{1}{2}}, {u'}^{\frac{1}{2}}$ .

Этап 6.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6.1.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 6.1.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 6.1.6

НОК $2, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 6.1.7

НОК $u^{\frac{1}{2}}, {u'}^{\frac{1}{2}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.1.8

НОК $2 u^{\frac{1}{2}}, 2 {u'}^{\frac{1}{2}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2

Каждый член в $\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} = 0$ умножим на $2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим каждый член $\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} = 0$ на $2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{u'}{2 u^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{u'}{u^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.3

Сократим общий множитель $u^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $u^{\frac{1}{2}}$ из $u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u'}{u^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{u'}{u^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$u' {u'}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.4

Умножим $u'$ на ${u'}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1

Умножим $u'$ на ${u'}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1.1

Возведем $u'$ в степень $1$ .

${u'}^{1} {u'}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${u'}^{1 + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${u'}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${u'}^{\frac{2 + 1}{2}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.4.4

Добавим $2$ и $1$ .

${u'}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${u'}^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

${u'}^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{1}{2 {u'}^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

${u'}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{{u'}^{\frac{1}{2}}} (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.7

Сократим общий множитель ${u'}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.7.1

Вынесем множитель ${u'}^{\frac{1}{2}}$ из $u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{{u'}^{\frac{1}{2}}} ({u'}^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.7.2

Сократим общий множитель.

${u'}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{{u'}^{\frac{1}{2}}} ({u'}^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.7.3

Перепишем это выражение.

${u'}^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} = 0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $0 (2 u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

${u'}^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} = 0 (u^{\frac{1}{2}} {u'}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $u^{\frac{1}{2}}$ на $0$ .

${u'}^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} = 0 {u'}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.3.1.3

Умножим $0$ на ${u'}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Найдем общий множитель $u^{\frac{1}{2}}$ , который присутствует в каждом члене.

${({u'}^{\frac{1}{2}})}^{3} + u^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2

Подставим $u$ вместо $u^{\frac{1}{2}}$ .

${({u'}^{\frac{1}{2}})}^{3} + u = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({u'}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${u'}^{\frac{1}{2} \cdot 3} + u = 0$

Этап 6.3.3.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

${u'}^{\frac{3}{2}} + u = 0$

Этап 6.3.3.2

Вычтем ${u'}^{\frac{3}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$u = - {u'}^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.4

Подставим $u'$ вместо $u$ .

$u^{\frac{1}{2}} = - {u'}^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.3.5

Решим относительно $u'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- {u'}^{\frac{3}{2}} = u^{\frac{1}{2}}$ .

$- {u'}^{\frac{3}{2}} = u^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.5.2

Исключим дробные показатели степени, умножив и тот, и другой на НОЗ.

${(- {u'}^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 6.3.5.3

Упростим ${(- {u'}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.3.1

Применим правило умножения к $- {u'}^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({u'}^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 6.3.5.3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({u'}^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 6.3.5.3.3

Умножим ${({u'}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({u'}^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 6.3.5.3.4

Перемножим экспоненты в ${({u'}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.3.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${u'}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 6.3.5.3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.3.4.2.1

Сократим общий множитель.

${u'}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 6.3.5.3.4.2.2

Перепишем это выражение.

${u'}^{3} = {(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 6.3.5.4

Упростим ${(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.1

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${u'}^{3} = u^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 6.3.5.4.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

${u'}^{3} = u^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 6.3.5.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

${u'}^{3} = u^{1}$

Этап 6.3.5.4.2

Упростим.

${u'}^{3} = u$

Этап 6.3.5.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$u' = \sqrt[3]{u}$

Этап 7

Заменим $u'$ на $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v} = \sqrt[3]{u}$