Математический анализ Примеры

$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 5 \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $5 \sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $25$ из $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $25$ из $- 25$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $25$ из $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $25 \tan^{2} (t)$ в виде ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $5 \tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $5 \tan (t)$ из $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{5 \sec (t)}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Этап 2.2.3

Перепишем это выражение.

$\int 5 \sec (t) \sec (t) d t$

Этап 3

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec (t)) d t$

Этап 4

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 5 {\sec (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 6

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 5 \sec^{2} (t) d t$

Этап 7

Поскольку $5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 8

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$5 (\tan (t) + C)$

Этап 9

Упростим.

$5 \tan (t) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$5 \tan (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$5 \tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$