Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

Этап 1.1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{3}}$ из $x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{3}}$ из $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

Этап 1.1.3.2

Умножим на $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{x} d x$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{3}}$ из $x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{6}} + 1)}{x} d x$

Этап 1.2

Перенесем $x^{\frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x \cdot x^{- \frac{1}{3}}} d x$

Этап 1.3

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1} x^{- \frac{1}{3}}} d x$

Этап 1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1 - \frac{1}{3}}} d x$

Этап 1.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d x$

Этап 1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3 - 1}{3}}} d x$

Этап 1.3.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{\frac{2}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 4.3

Чтобы записать $- \frac{2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 4.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 4.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\int x^{\frac{1 - 4}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 4.6.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 4.7

Сократим общий множитель $- 3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\int x^{\frac{3 (- 1)}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 4.8

Умножим $x^{- \frac{2}{3}}$ на $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$

Этап 9

Упростим.

$2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$