Математический анализ Примеры

$\int {(e^{3 x} - 2)}^{2} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(e^{3 x} - 2)}^{2}$ в виде $(e^{3 x} - 2) (e^{3 x} - 2)$ .

$\int (e^{3 x} - 2) (e^{3 x} - 2) d x$

Этап 1.2

Развернем $(e^{3 x} - 2) (e^{3 x} - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{3 x} (e^{3 x} - 2) - 2 (e^{3 x} - 2) d x$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{3 x} e^{3 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 (e^{3 x} - 2) d x$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{3 x} e^{3 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $e^{3 x}$ на $e^{3 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{3 x + 3 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Этап 1.3.1.1.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$\int e^{6 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $e^{3 x}$ .

$\int e^{6 x} - 2 \cdot e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\int e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 4 d x$

Этап 1.3.2

Вычтем $2 e^{3 x}$ из $- 2 e^{3 x}$ .

$\int e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 4 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int e^{6 x} d x + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = 6 x$ . Тогда $d u_{1} = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = 6 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 3.1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{6} d u_{1} + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Этап 4

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Этап 6

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Этап 7

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 \int e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Этап 8

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Тогда $d u_{2} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 8.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 9

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 4 d x$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 4$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 4}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 11.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{4}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Этап 12

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{4}{3} (e^{u_{2}} + C) + \int 4 d x$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{4}{3} (e^{u_{2}} + C) + 4 x + C$

Этап 14

Упростим.

$\frac{1}{6} e^{u_{1}} - \frac{4}{3} e^{u_{2}} + 4 x + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 x$ .

$\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{u_{2}} + 4 x + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x} + 4 x + C$