Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{- 4 \sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

Этап 1

Вынесем член $- 4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 4 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{\sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{lim_{x \to - \frac{π}{3}} \sin (x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- lim_{x \to - \frac{π}{3}} 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

Этап 5

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 1 \cdot 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

Этап 6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \cos (x)}$

Этап 7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $- \frac{π}{3}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{π}{3}$ для $x$ .

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{π}{3}$ для $x$ .

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 4 \frac{\sin (\frac{5 π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Этап 9.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 4 \frac{- \sin (\frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Этап 9.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{5 π}{3})}$

Этап 9.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{π}{3})}$

Этап 9.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 (\frac{1}{2})}$

Этап 9.2.4

Объединим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + \frac{5}{2}}$

Этап 9.2.5

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}$

Этап 9.2.6

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}$

Этап 9.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2 + 5}{2}}$

Этап 9.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.8.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 16 + 5}{2}}$

Этап 9.2.8.2

Добавим $- 16$ и $5$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 11}{2}}$

Этап 9.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{11}{2}}$

Этап 9.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{11}{2}}$

Этап 9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Сократим общий множитель.

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

Этап 9.5.2

Перепишем это выражение.

$- 4 (\sqrt{3} \frac{1}{11})$

Этап 9.6

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{1}{11}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{11}$

Этап 9.7

Объединим $- 4$ и $\frac{\sqrt{3}}{11}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{11}$

Этап 9.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

Десятичная форма:

$- 0.62983665 \dots$