Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{t} x \sqrt{x - t} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sqrt{x - t}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x - t)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{t} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4

Пусть $u = x - t$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x - t$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x - t$ .

$\frac{d}{d x} [x - t]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x - t$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- t]$

Этап 4.1.4

Поскольку $- t$ является константой относительно $x$ , производная $- t$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - t$ .

$u_{lower} = 0 - t$

Этап 4.3

Вычтем $t$ из $0$ .

$u_{lower} = - t$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - t$ .

$u_{upper} = t - t$

Этап 4.5

Вычтем $t$ из $t$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - t$

$u_{upper} = 0$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \frac{2}{3} \int_{- t}^{0} u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{- t}^{0}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ в $t$ и в $0$ .

$(\frac{t (2 {(t - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{- t}^{0}$

Этап 6.2

Найдем значение $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ в $0$ и в $- t$ .

$(\frac{t (2 {(t - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $t$ из $t$ .

$\frac{t (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{t (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{t (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{t (2 \cdot 0)}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.6

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{t \cdot 0}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.7

Умножим $t$ на $0$ .

$\frac{0}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.8

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{3 (0)}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0 - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.9

Вычтем $t$ из $0$ .

$0 - \frac{0 (2 {(- t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- t$ .

$0 - \frac{0 (2 {(- (t))}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.11

Применим правило умножения к $- (t)$ .

$0 - \frac{0 (2 ({(- 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{3}{2}}))}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.12

Умножим $2$ на $0$ .

$0 - \frac{0 ({(- 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.13

Умножим ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ на $0$ .

$0 - \frac{0 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.14

Умножим $0$ на $t^{\frac{3}{2}}$ .

$0 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.15

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.15.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$0 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$0 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.15.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.16

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.17

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.18

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.19

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.20

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.20.1

Сократим общий множитель.

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.20.2

Перепишем это выражение.

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{5} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.21

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0 - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.22

Умножим $\frac{2}{5}$ на $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.23

Вынесем множитель $- 1$ из $- t$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} {(- (t))}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.24

Применим правило умножения к $- (t)$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} ({(- 1)}^{\frac{5}{2}} t^{\frac{5}{2}}))$

Этап 6.3.25

Объединим ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ и $\frac{2}{5}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{{(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5} t^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.26

Объединим $t^{\frac{5}{2}}$ и $\frac{{(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{t^{\frac{5}{2}} ({(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{5})$

Этап 6.3.27

Перенесем $2$ влево от ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{t^{\frac{5}{2}} (2 \cdot {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{5})$

Этап 6.3.28

Перенесем $2$ влево от $t^{\frac{5}{2}}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2 \cdot t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 6.3.29

Вычтем $\frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ из $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (- \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 6.3.30

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3}) \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

Этап 6.3.31

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

Этап 6.3.32

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$0 + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}$

Этап 6.3.33

Умножим $2$ на $2$ .

$0 + \frac{4 (t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}$

Этап 6.3.34

Умножим $3$ на $5$ .

$0 + \frac{4 (t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{15}$

Этап 6.3.35

Добавим $0$ и $\frac{4 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{4 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$\frac{4 {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ в виде $\sqrt{{(- 1)}^{5}}$ .

$\frac{4 \sqrt{{(- 1)}^{5}}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$\frac{4 \sqrt{- 1}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.1.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\frac{4 i}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{4 i}{15}$ и $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{4 i t^{\frac{5}{2}}}{15}$