Математический анализ Примеры

$y = \frac{4 x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{5} - 4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2}$ и $g (x) = 4 x^{5} - 4$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 3 x^{2}] - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 3 (2 x)) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 4]}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $4 x^{5} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{5}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2.11

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2.12

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4} + 0)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $20 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - (4 x^{3} - 3 x^{2}) (20 x^{4})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 2.13.2

Умножим $20$ на $- 1$ .

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - 20 (4 x^{3} - 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) + (- 20 (4 x^{3}) - 20 (- 3 x^{2})) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Развернем $(4 x^{5} - 4) (12 x^{2} - 6 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2} - 6 x) - 4 (12 x^{2} - 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2} - 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{5} (12 x^{2}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 \cdot 12 x^{5} x^{2} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x^{5}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 12 (x^{2} x^{5}) + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \cdot 12 x^{2 + 5} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2.3

Добавим $2$ и $5$ .

$\frac{4 \cdot 12 x^{7} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.3

Умножим $4$ на $12$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 x^{5} (- 6 x) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{5} x - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 (x \cdot x^{5}) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 (x^{1} x^{5}) - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{1 + 5} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.5.3

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{48 x^{7} + 4 \cdot - 6 x^{6} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.6

Умножим $4$ на $- 6$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 4 (12 x^{2}) - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.7

Умножим $12$ на $- 4$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} - 4 (- 6 x) - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.8

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 20 (4 x^{3}) x^{4} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $x^{3}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 20 (4 (x^{4} x^{3})) - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 20 (4 x^{4 + 3}) - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 20 (4 x^{7}) - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $4$ на $- 20$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - 20 (- 3 x^{2}) x^{4}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - 20 (- 3 (x^{4} x^{2}))}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - 20 (- 3 x^{4 + 2})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5.3

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} - 20 (- 3 x^{6})}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.6

Умножим $- 3$ на $- 20$ .

$\frac{48 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x - 80 x^{7} + 60 x^{6}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вычтем $80 x^{7}$ из $48 x^{7}$ .

$\frac{- 32 x^{7} - 24 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x + 60 x^{6}}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $- 24 x^{6}$ и $60 x^{6}$ .

$\frac{- 32 x^{7} + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $4 x$ из $- 32 x^{7} + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $4 x$ из $- 32 x^{7}$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 36 x^{6} - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $4 x$ из $36 x^{6}$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) - 48 x^{2} + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $4 x$ из $- 48 x^{2}$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 24 x}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $4 x$ из $24 x$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- 8 x^{6}) + 4 x (9 x^{5})$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5}) + 4 x (- 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.6

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5}) + 4 x (- 12 x)$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x) + 4 x (6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.4.7

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x) + 4 x (6)$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 x^{5} - 4)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{5} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{5}$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5}) - 4)}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5}) + 4 (- 1))}^{2}}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{5}) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{{(4 (x^{5} - 1))}^{2}}$

Этап 3.5.2

Применим правило умножения к $4 (x^{5} - 1)$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4^{2} {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{16 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $4$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)$ .

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{16 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16 {(x^{5} - 1)}^{2}$ .

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{4 (4 {(x^{5} - 1)}^{2})}$

Этап 3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6))}{4 (4 {(x^{5} - 1)}^{2})}$

Этап 3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (- 8 x^{6} + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 x^{6}$ .

$\frac{x (- (8 x^{6}) + 9 x^{5} - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $9 x^{5}$ .

$\frac{x (- (8 x^{6}) - (- 9 x^{5}) - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Этап 3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 x^{6}) - (- 9 x^{5})$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - 12 x + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Этап 3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 12 x$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - (12 x) + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Этап 3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 x^{6} - 9 x^{5}) - (12 x)$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) + 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Этап 3.12

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) - 1 (- 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Этап 3.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{x (- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Этап 3.14

Перепишем $- (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)$ в виде $- 1 (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)$ .

$\frac{x (- 1 (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6))}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$

Этап 3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x (8 x^{6} - 9 x^{5} + 12 x - 6)}{4 {(x^{5} - 1)}^{2}}$