Математический анализ Примеры

$y = t \ln^{2} (1 t)$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$y = t \ln^{2} (1 t)$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (1 t))$

Этап 3

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{d}{d t} [t \ln^{2} (t)]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = \ln^{2} (t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)] + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = \ln (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (t)$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t (2 u \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (t)$ .

$t (2 \ln (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.4

Производная $\ln (t)$ по $t$ равна $\frac{1}{t}$ .

$t (2 \ln (t) \frac{1}{t}) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Объединим $\frac{1}{t}$ и $2$ .

$t (\frac{2}{t} \ln (t)) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.5.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Объединим $\frac{2}{t}$ и $\ln (t)$ .

$t \frac{2 \ln (t)}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.5.2.2

Объединим $t$ и $\frac{2 \ln (t)}{t}$ .

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.5.2.3

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.5.2.3.2

Разделим $2 \ln (t)$ на $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \cdot 1$

Этап 4.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Умножим $\ln^{2} (t)$ на $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t)$

Этап 4.5.4.2

Изменим порядок членов.

$\ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$