Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{3}}{x - 1}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x^{3}}{x - 1})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = x^{3}$ и $g (y) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d y} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{3}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Перенесем $3$ влево от $x - 1$ .

$\frac{3 \cdot (x - 1) x^{2} \frac{d}{d y} [x] - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $x - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} (x' + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} (x' + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.8

Добавим $x'$ и $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2}) x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x \cdot x^{2} x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9.4.1.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2 + 1} x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9.4.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 x^{3} x' + 3 \cdot - 1 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9.4.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} x' - 3 x^{2} x' - x^{3} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9.4.2

Вычтем $x^{3} x'$ из $3 x^{3} x'$ .

$\frac{2 x^{3} x' - 3 x^{2} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9.5

Вынесем множитель $x^{2} x'$ из $2 x^{3} x' - 3 x^{2} x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.1

Вынесем множитель $x^{2} x'$ из $2 x^{3} x'$ .

$\frac{x^{2} x' (2 x) - 3 x^{2} x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9.5.2

Вынесем множитель $x^{2} x'$ из $- 3 x^{2} x'$ .

$\frac{x^{2} x' (2 x) + x^{2} x' (- 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9.5.3

Вынесем множитель $x^{2} x'$ из $x^{2} x' (2 x) + x^{2} x' (- 3)$ .

$\frac{x^{2} x' (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.9.6

Изменим порядок множителей в $\frac{x^{2} x' (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} = 1$

Этап 5.2

Умножим обе части на ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2} = 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим $\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (2 x - 3) x'}{{(x - 1)}^{2}} {(x - 1)}^{2} = 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} (2 x - 3) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.1.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.1.3.2

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$(2 x^{2} x - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.2.1

Перенесем $x$ .

$(2 (x \cdot x^{2}) - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(2 (x^{1} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 x^{1 + 2} - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(2 x^{3} - 3 \cdot x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

$(2 x^{3} - 3 x^{2}) x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{3} x' - 3 x^{2} x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.3.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.3.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$2 x' x^{3} - 3 x^{2} x' = 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.3.1.1.3.2.2

Перенесем $x^{2}$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим ${(x - 1)}^{2}$ на $1$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 5.4

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = (x - 1) (x - 1)$

Этап 5.4.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Этап 5.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Этап 5.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 5.4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 5.4.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 5.4.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Этап 5.4.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Этап 5.4.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - x - x + 1$

Этап 5.4.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$2 x' x^{3} - 3 x' x^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $x' x^{2}$ из $2 x' x^{3} - 3 x' x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $x' x^{2}$ из $2 x' x^{3}$ .

$x' x^{2} (2 x) - 3 x' x^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $x' x^{2}$ из $- 3 x' x^{2}$ .

$x' x^{2} (2 x) + x' x^{2} \cdot - 3 = x^{2} - 2 x + 1$

Этап 5.4.2.3

Вынесем множитель $x' x^{2}$ из $x' x^{2} (2 x) + x' x^{2} \cdot - 3$ .

$x' x^{2} (2 x - 3) = x^{2} - 2 x + 1$

Этап 5.4.3

Разделим каждый член $x' x^{2} (2 x - 3) = x^{2} - 2 x + 1$ на $x^{2} (2 x - 3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Разделим каждый член $x' x^{2} (2 x - 3) = x^{2} - 2 x + 1$ на $x^{2} (2 x - 3)$ .

$\frac{x' x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} (2 x - 3)} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} (2 x - 3)} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.2.2

Сократим общий множитель $2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{x^{2}}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{- 2 x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{x \cdot - 2}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (2 x - 3)$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{x \cdot - 2}{x (x (2 x - 3))} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{x \cdot - 2}{x (x (2 x - 3))} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} + \frac{- 2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = \frac{1}{2 x - 3} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.2

Чтобы записать $\frac{1}{2 x - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 x - 3) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.3.1

Умножим $\frac{1}{2 x - 3}$ на $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{x}{(2 x - 3) x} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(2 x - 3) x$ .

$x' = \frac{x}{x (2 x - 3)} - \frac{2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{x - 2}{x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.5

Чтобы записать $\frac{x - 2}{x (2 x - 3)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{x - 2}{x (2 x - 3)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 x - 3) x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.6.1

Умножим $\frac{x - 2}{x (2 x - 3)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x (2 x - 3) x} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{1} x (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.6.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{1} x^{1} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{1 + 1} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x' = \frac{(x - 2) x}{x^{2} (2 x - 3)} + \frac{1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{(x - 2) x + 1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x' = \frac{x \cdot x - 2 x + 1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x' = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.8.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.8.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x' = \frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.8.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 5.4.3.3.8.3.3

Перепишем многочлен.

$x' = \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 5.4.3.3.8.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x' = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} (2 x - 3)}$