Математический анализ Примеры

$\int (π - x) \cos (π x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = π - x$ и $d v = \cos (π x)$ .

$(π - x) (\frac{1}{π} \sin (π x)) - \int \frac{1}{π} \sin (π x) \cdot - 1 d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{π}$ и $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) \cdot - 1 d x$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{π}$ и $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x)}{π} \cdot - 1 d x$

Этап 2.3

Объединим $\frac{\sin (π x)}{π}$ и $- 1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x) \cdot - 1}{π} d x$

Этап 2.4

Перенесем $- 1$ влево от $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{- 1 \cdot \sin (π x)}{π} d x$

Этап 2.5

Перепишем $- 1 \sin (π x)$ в виде $- \sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{- \sin (π x)}{π} d x$

Этап 2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int - \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - - \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + 1 \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Этап 4.2

Умножим $\int \frac{\sin (π x)}{π} d x$ на $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \sin (π x) d x$

Этап 6

Пусть $u = π x$ . Тогда $d u = π d x$ , следовательно $\frac{1}{π} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = π x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Этап 6.1.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Этап 7

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{π}$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{π}$ на $\frac{1}{π}$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π π} \int \sin (u) d u$

Этап 9.2

Возведем $π$ в степень $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1} π} \int \sin (u) d u$

Этап 9.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \sin (u) d u$

Этап 9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \sin (u) d u$

Этап 9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \int \sin (u) d u$

Этап 10

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C)$ в виде $\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u)) + C$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u)) + C$

Этап 11.2

Объединим $\frac{1}{π^{2}}$ и $\cos (u)$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} - \frac{\cos (u)}{π^{2}} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} - \frac{\cos (π x)}{π^{2}} + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Изменим порядок множителей в $\frac{\sin (π x) x}{π}$ .

$\sin (π x) - \frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{\cos (π x)}{π^{2}} + C$

Этап 13.2

Изменим порядок членов.

$\sin (π x) - \frac{1}{π} x \sin (π x) - \frac{1}{π^{2}} \cos (π x) + C$