Математический анализ Примеры

$\int (\frac{4}{x^{3}} + \frac{2}{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{4}{x^{3}} + \frac{2}{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 \int x^{- 3} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 6.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 2 (\ln (| x |) + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{- 2}{x^{2}} + 2 \ln (| x |) + C$

Этап 9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{2}} + 2 \ln (| x |) + C$