Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (e^{x} - e^{- 2 x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} e^{x} - e^{- 2 x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Этап 3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{- 2 x} d x$

Этап 5

Пусть $u = - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Этап 5.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Этап 5.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 6.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{x}]_{0}^{1} - - \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 8.2

Умножим $\int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$ на $1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $e^{x}$ в $1$ и в $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Этап 11.2

Найдем значение $e^{u}$ в $- 2$ и в $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Упростим.

$e - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 11.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 11.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 11.3.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Этап 11.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e - 1 + \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 12.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{- 2}$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 12.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 12.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Перенесем $e^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1}{2}$

Этап 12.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{2}$

Этап 12.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 12.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 2 - 1}{2}$

Этап 12.5.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 3}{2}$

Этап 12.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.28594947 \dots$

Этап 14