Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 + \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Этап 1

Distribute denominator.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ в $\sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $\cos^{2} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + 1 d θ$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) d θ + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

Этап 4

Поскольку производная $\tan (θ)$ равна $\sec^{2} (θ)$ , интеграл $\sec^{2} (θ)$ равен $\tan (θ)$ .

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ и $θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\tan (θ) + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\tan (θ) + θ$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$(\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4}) - (\tan (0) + 0)$

Этап 6.2.2

Добавим $\tan (0)$ и $0$ .

$\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4} - \tan (0)$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$1 + \frac{π}{4} - \tan (0)$

Этап 6.3.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$1 + \frac{π}{4} - 0$

Этап 6.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$1 + \frac{π}{4} + 0$

Этап 6.3.4

Добавим $1 + \frac{π}{4}$ и $0$ .

$1 + \frac{π}{4}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$1 + \frac{π}{4}$

Десятичная форма:

$1.78539816 \dots$