Математический анализ Примеры

$\sqrt{x \sqrt{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{1} x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{1 + \frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{\frac{2 + 1}{2}}}]$

Этап 2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}]$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}$ в виде $x^{\frac{\frac{3}{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{\frac{3}{2}}{2}}]$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}}]$

Этап 5

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2 \cdot 2}}]$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}$

Этап 10.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 12.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$