Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{0} \sqrt{x - 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 1$ .

$u_{lower} = - 1 - 1$

Этап 1.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$u_{lower} = - 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 0 - 1$

Этап 1.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 2}^{- 1} \sqrt{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{- 2}^{- 1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{- 2}^{- 1}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$(\frac{2}{3} {(- 1)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(- 2)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} {(- 2)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.2

Объединим ${(- 2)}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

Этап 4.2.3

Перенесем $2$ влево от ${(- 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ в виде $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{{(- 1)}^{3}}}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Этап 5.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{2 \sqrt{- 1}}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Этап 5.1.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\frac{2 i}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Этап 5.2

Изменим порядок $\frac{2 i}{3}$ и $- \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$- \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 i}{3}$

Этап 6