Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{2 \sqrt{x} + 1}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 2 x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $2 x^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $2 x^{\frac{1}{2}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 8.3

Объединим $2$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 8.4

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 8.5

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 8.6

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - \frac{x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 11

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - (x^{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 12

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2 - \frac{1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 12.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 12.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{4 - 1}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 12.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}} + 1) x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 (2 x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1) x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}}) x + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (2 x^{1 + \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.3.1.1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 (2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.3.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (2 x^{\frac{2 + 1}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.3.1.1.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 (2 x^{\frac{3}{2}}) + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.3.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x - x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.3.2

Вычтем $x^{\frac{3}{2}}$ из $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x + 3 x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.4

Вынесем множитель $x$ из $2 x + 3 x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 + 3 x^{\frac{3}{2}}}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.4.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (3 x^{\frac{1}{2}})}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 2 + x (3 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x (2 + 3 x^{\frac{1}{2}})}{{(2 x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$