Математический анализ Примеры

$- \frac{5}{x^{3}} \cdot e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ и $\frac{5}{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \cdot 5}{x^{3}}]$

Этап 1.2

Перенесем $5$ влево от $e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 \cdot e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{3}}]$

Этап 1.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{3}}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ и $g (x) = x^{3}$ .

$- 5 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}] - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}] - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- 5 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}] - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 3 x^{4} + 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 3 x^{4} + 4 x^{2}$ .

$- 5 \frac{x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} + 4 x^{2}]) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} + 4 x^{2}]) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 3 x^{4} + 4 x^{2}$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} + 4 x^{2}]) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{4} + 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{4}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5.4

Умножим $4$ на $- 3$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 4 (2 x))) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5.7

Умножим $2$ на $4$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 5.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2}}{x^{6}}$

Этап 5.9.2

Объединим $- 5$ и $\frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{- 5 (x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 5.9.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(5) (x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{5 (x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x))) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{5 (x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3}) + e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x))) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{5 (x^{3} (- 12 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3} + e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x))) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{5 (x^{3} (- 12 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3} + 8 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{5 (x^{3} (- 12 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3}) + x^{3} (8 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{5 (- 12 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3}) + x^{3} (8 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{5 (- 12 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3}) + 8 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.7.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.7.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- \frac{5 (- 12 (x^{3} x^{3}) e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{5 (- 12 x^{3 + 3} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.7.1.3

Добавим $3$ и $3$ .

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.7.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 (x \cdot x^{3}) e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 (x^{1} x^{3}) e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{1 + 3} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.7.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (8 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.9

Умножим $- 12$ на $5$ .

$- \frac{- 60 (x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (8 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.10

Умножим $8$ на $5$ .

$- \frac{- 60 (x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 40 (x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.11

Избавимся от скобок.

$- \frac{- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6.2.1.12

Умножим $- 3$ на $5$ .

$- \frac{- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2}}{x^{6}}$

Этап 6.2.2

Изменим порядок множителей в $- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2}$ .

$- \frac{- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{6}}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ из $- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ из $- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ .

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4}) + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{6}}$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ из $40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ .

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x^{2}) - 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{6}}$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ из $- 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ .

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x^{2}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3)}{x^{6}}$

Этап 6.3.4

Вынесем множитель $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ из $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x^{2})$ .

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3)}{x^{6}}$

Этап 6.3.5

Вынесем множитель $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ из $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3)$ .

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3)}{x^{6}}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3)$ .

$- \frac{x^{2} (5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Этап 6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$- \frac{x^{2} (5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{2} (5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Этап 6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 12 x^{4}$ .

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4}) + 8 x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Этап 6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $8 x^{2}$ .

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4}) - (- 8 x^{2}) - 3)}{x^{4}}$

Этап 6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (12 x^{4}) - (- 8 x^{2})$ .

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4} - 8 x^{2}) - 3)}{x^{4}}$

Этап 6.8

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4} - 8 x^{2}) - 1 (3))}{x^{4}}$

Этап 6.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (12 x^{4} - 8 x^{2}) - 1 (3)$ .

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3))}{x^{4}}$

Этап 6.10

Перепишем $- (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)$ в виде $- 1 (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)$ .

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 1 (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3))}{x^{4}}$

Этап 6.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$

Этап 6.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$

Этап 6.13

Умножим $\frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$ на $1$ .

$\frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$

Этап 6.14

Изменим порядок множителей в $\frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$