Математический анализ Примеры

$y = \sec (x)$

Этап 1

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Этап 2.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Этап 2.3

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Этап 2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = {\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Этап 2.4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 2.5

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

Этап 2.6

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$

Этап 2.9

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\sec (x) \tan (x) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Этап 5

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sec (x)$ к $0$ .

$\sec (x) = 0$

Этап 5.2

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 6

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\tan (x)$ к $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\tan (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 6.2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 6.2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 6.2.5

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sec (x) \tan (x) = 0$ верно.

$x = 0, π$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\tan^{2} (0) \sec (0) + \sec^{3} (0)$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$0^{2} \sec (0) + \sec^{3} (0)$

Этап 9.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 \sec (0) + \sec^{3} (0)$

Этап 9.1.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$0 \cdot 1 + \sec^{3} (0)$

Этап 9.1.4

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + \sec^{3} (0)$

Этап 9.1.5

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$0 + 1^{3}$

Этап 9.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$0 + 1$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \sec (0)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\tan^{2} (π) \sec (π) + \sec^{3} (π)$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

${(- \tan (0))}^{2} \sec (π) + \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

${(- 0)}^{2} \sec (π) + \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0^{2} \sec (π) + \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 \sec (π) + \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$0 (- \sec (0)) + \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.6

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.7

Умножим $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 \cdot - 1 + \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.7.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 + \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.8

$0 + {(- \sec (0))}^{3}$

Этап 13.1.9

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$0 + {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Этап 13.1.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 + {(- 1)}^{3}$

Этап 13.1.11

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$0 - 1$

Этап 13.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 14

$x = π$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = π$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = \sec (π)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

$f (π) = - \sec (0)$

Этап 15.2.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Этап 15.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = - 1$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \sec (x)$ .

$(0, 1)$ — локальный минимум

$(π, - 1)$ — локальный максимум

Этап 17