Математический анализ Примеры

$y = \frac{x - 2}{y + 3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 2}{y + 3})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 2$ и $g (x) = y + 3$ .

$\frac{(y + 3) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(y + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(y + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(y + 3) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(y + 3) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $y + 3$ на $1$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 3.2.5

По правилу суммы производная $y + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + 0)}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 3.5

Добавим $y'$ и $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y + 3 + (- x - - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y + 3 - x y' - - 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 3.6.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{y + 3 - x y' + 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 3.6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на ${(y + 3)}^{2}$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель ${(y + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' {(y + 3)}^{2} = - x y' + y + 2 y' + 3$

Этап 5.2.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + y + 2 y' + 3$

Этап 5.2.1.2.2

Перенесем $y$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + 2 y' + y + 3$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 1 y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Этап 5.3.2

Перепишем $- 1 y'$ в виде $- y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Этап 5.3.3

Упростим $y' {(y + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем ${(y + 3)}^{2}$ в виде $(y + 3) (y + 3)$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' ((y + 3) (y + 3))$

Этап 5.3.3.2

Развернем $(y + 3) (y + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y (y + 3) + 3 (y + 3))$

Этап 5.3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3))$

Этап 5.3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Этап 5.3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Этап 5.3.3.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3)$

Этап 5.3.3.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 y + 3 y + 9)$

Этап 5.3.3.3.2

Добавим $3 y$ и $3 y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 6 y + 9)$

Этап 5.3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' \cdot 9$

Этап 5.3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + y' \cdot 9$

Этап 5.3.3.5.2

Перенесем $9$ влево от $y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 \cdot y'$

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 y'$

Этап 5.3.4

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' = - y' x + 2 y' + y + 3$

Этап 5.3.5

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Добавим $y' x$ к обеим частям уравнения.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x = 2 y' + y + 3$

Этап 5.3.5.2

Вычтем $2 y'$ из обеих частей уравнения.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x - 2 y' = y + 3$

Этап 5.3.5.3

Вычтем $2 y'$ из $9 y'$ .

$y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y' = y + 3$

Этап 5.3.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) + 6 y' y + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Этап 5.3.6.2

Вынесем множитель $y'$ из $6 y' y$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Этап 5.3.6.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Этап 5.3.6.4

Вынесем множитель $y'$ из $7 y'$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Этап 5.3.6.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (y^{2}) + y' (6 y)$ .

$y' (y^{2} + 6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Этап 5.3.6.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' (y^{2} + 6 y) + y' (x)$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Этап 5.3.6.7

Вынесем множитель $y'$ из $y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$

Этап 5.3.7

Разделим каждый член $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ на $y^{2} + 6 y + x + 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Разделим каждый член $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ на $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Этап 5.3.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.2.1

Сократим общий множитель $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Этап 5.3.7.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Этап 5.3.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$