Математический анализ Примеры

$\int (\frac{8}{x} - \frac{5}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{8}{x} - \frac{5}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{8}{x} d x + \int - \frac{5}{x^{2}} d x + \int \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 3

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{5}{x^{2}} d x + \int \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$8 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{5}{x^{2}} d x + \int \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{5}{x^{2}} d x + \int \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$8 (\ln (| x |) + C) - (5 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$8 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 7.2

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$8 (\ln (| x |) + C) - 5 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 7.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\ln (| x |) + C) - 5 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 (\ln (| x |) + C) - 5 \int x^{- 2} d x + \int \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$8 (\ln (| x |) + C) - 5 (- x^{- 1} + C) + \int \frac{6}{x^{3}} d x$

Этап 9

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$8 (\ln (| x |) + C) - 5 (- x^{- 1} + C) + 6 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 10

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$8 (\ln (| x |) + C) - 5 (- x^{- 1} + C) + 6 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 10.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\ln (| x |) + C) - 5 (- x^{- 1} + C) + 6 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 10.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$8 (\ln (| x |) + C) - 5 (- x^{- 1} + C) + 6 \int x^{- 3} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$8 (\ln (| x |) + C) - 5 (- x^{- 1} + C) + 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$8 (\ln (| x |) + C) - 5 (- x^{- 1} + C) + 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 12.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (\ln (| x |) + C) - 5 (- x^{- 1} + C) + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 12.2

Упростим.

$8 \ln (| x |) + \frac{5}{x} + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$8 \ln (| x |) + \frac{5}{x} - 6 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 12.3.2

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$8 \ln (| x |) + \frac{5}{x} + \frac{- 6}{2 x^{2}} + C$

Этап 12.3.3

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$8 \ln (| x |) + \frac{5}{x} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

Этап 12.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$8 \ln (| x |) + \frac{5}{x} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{2})} + C$

Этап 12.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$8 \ln (| x |) + \frac{5}{x} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

Этап 12.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$8 \ln (| x |) + \frac{5}{x} + \frac{- 3}{x^{2}} + C$

Этап 12.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 \ln (| x |) + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}} + C$