Математический анализ Примеры

$\int x (\sqrt{x} - 1) d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x (x^{\frac{1}{2}} - 1) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 1 d x$

Этап 2.2

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x d x$

Этап 2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x d x$

Этап 2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x d x$

Этап 2.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x d x$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x d x$

Этап 2.7

Добавим $2$ и $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 1 x d x$

Этап 2.8

Изменим порядок $x^{\frac{3}{2}}$ и $- 1 x$ .

$\int - 1 x + x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 x d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int x d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$