Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (4 x)}{x + x \cos (5 x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Этап 1.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Этап 1.1.2.6.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Этап 1.1.2.6.4

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + x \cos (5 x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cos (5 x)}$

Этап 1.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Этап 1.1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 1.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (0)}$

Этап 1.1.3.6.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.1.3

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (4 x)}{x + x \cos (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)] + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3.3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- 4 \sin (4 x) \cdot 1) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3.8

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- 4 \sin (4 x)) + \cos (4 x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3.9

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x + x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3.10

По правилу суммы производная $x + x \cos (5 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + \frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]}$

Этап 1.3.12

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.12.1

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.12.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.12.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.12.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.12.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.12.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.12.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.12.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \cdot 1}$

Этап 1.3.12.6

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) \cdot 1}$

Этап 1.3.12.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) \cdot 1}$

Этап 1.3.12.8

Умножим $\cos (5 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{1 + x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x)}$

Этап 1.3.13

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{- 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - 4 \sin (x) \sin (4 x) + \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 4 \sin (x) \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Этап 2.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 4 lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- 4 lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Этап 2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Этап 2.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Этап 2.7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Этап 2.8

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Этап 2.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Этап 2.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Этап 2.11

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 5 x \sin (5 x) + 1 + \cos (5 x)}$

Этап 2.12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 5 x \sin (5 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Этап 2.13

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \sin (5 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Этап 2.14

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Этап 2.15

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Этап 2.16

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Этап 2.17

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Этап 2.18

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Этап 2.19

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 4 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.7

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{- 4 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (4 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.1.3

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 \cdot 0 + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.1.5

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0 + \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.1.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0 + 1 \cdot \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.1.7

Умножим $\cos (4 \cdot 0)$ на $1$ .

$\frac{0 + \cos (4 \cdot 0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.1.8

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0 + \cos (0)}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.1.9

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0 + 1}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.1.10

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{- 5 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 5$ на $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.2.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot 0 + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.2.4

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{1}{0 + 1 + \cos (5 \cdot 0)}$

Этап 4.2.5

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{0 + 1 + \cos (0)}$

Этап 4.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{0 + 1 + 1}$

Этап 4.2.7

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{1 + 1}$

Этап 4.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$