Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.7

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.9

Добавим $\frac{2}{3}$ и $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 7.2.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 7.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 7.2.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} - 0)$

Этап 7.2.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{3} + 0)$

Этап 7.2.3.14

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 7.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 1}{3}$

Этап 7.2.3.16

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{3}$

Этап 9