Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{0} (x^{5} - 4 x^{3} + 4 x + 4) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{0} x^{5} - 4 x^{3} + 4 x + 4 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{0} x^{5} d x + \int_{- 1}^{0} - 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Этап 4

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 \int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + 4 x]_{- 1}^{0}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0}$ и $4 x]_{- 1}^{0}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + 4 x]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{1}{6} x^{6} + 4 x$ в $0$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $0$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Этап 11.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $0$ .

$0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.3

Умножим $4$ на $0$ .

$0 + 0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.4

Добавим $0$ и $0$ .

$0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.5

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$0 - (\frac{1}{6} \cdot 1 + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.6

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$0 - (\frac{1}{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$0 - (\frac{1}{6} - 4) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.8

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$0 - (\frac{1}{6} - 4 \cdot \frac{6}{6}) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.9

Объединим $- 4$ и $\frac{6}{6}$ .

$0 - (\frac{1}{6} + \frac{- 4 \cdot 6}{6}) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - \frac{1 - 4 \cdot 6}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.11.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$0 - \frac{1 - 24}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.11.2

Вычтем $24$ из $1$ .

$0 - \frac{- 23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - - \frac{23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{23}{6}) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.14

Умножим $\frac{23}{6}$ на $1$ .

$0 + \frac{23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.15

Добавим $0$ и $\frac{23}{6}$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.16

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{0}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.17

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.17.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{4 (0)}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.17.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.17.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{23}{6} - 4 (0 - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.18

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{23}{6} - 4 (0 - \frac{1}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.19

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$\frac{23}{6} - 4 (- \frac{1}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.20

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{23}{6} + 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.21

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{23}{6} + \frac{4}{4} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.22

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.22.1

Сократим общий множитель.

$\frac{23}{6} + \frac{4}{4} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.22.2

Перепишем это выражение.

$\frac{23}{6} + 1 + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.23

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{23}{6} + \frac{6}{6} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{23 + 6}{6} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.25

Добавим $23$ и $6$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.26

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.27

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.27.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.27.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.27.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.27.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.27.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.27.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{29}{6} + 4 (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Этап 11.2.4.28

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{29}{6} + 4 (0 - \frac{1}{2})$

Этап 11.2.4.29

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$\frac{29}{6} + 4 (- \frac{1}{2})$

Этап 11.2.4.30

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{29}{6} - 4 (\frac{1}{2})$

Этап 11.2.4.31

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{29}{6} + \frac{- 4}{2}$

Этап 11.2.4.32

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.32.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{29}{6} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Этап 11.2.4.32.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.32.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{29}{6} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 11.2.4.32.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{29}{6} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.4.32.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{29}{6} + \frac{- 2}{1}$

Этап 11.2.4.32.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\frac{29}{6} - 2$

Этап 11.2.4.33

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{29}{6} - 2 \cdot \frac{6}{6}$

Этап 11.2.4.34

Объединим $- 2$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{29}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6}$

Этап 11.2.4.35

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{29 - 2 \cdot 6}{6}$

Этап 11.2.4.36

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.36.1

Умножим $- 2$ на $6$ .

$\frac{29 - 12}{6}$

Этап 11.2.4.36.2

Вычтем $12$ из $29$ .

$\frac{17}{6}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{17}{6}$

Десятичная форма:

$2.8\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{5}{6}$

Этап 13