Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} (4 x - x^{2}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{3} 4 x - x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} 4 x d x + \int_{1}^{3} - x^{2} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - x^{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - x^{2} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) - \int_{1}^{3} x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $1$ .

$4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $1$ .

$4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{9 - 1}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.4

Вычтем $1$ из $9$ .

$4 (\frac{8}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.5

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$4 \frac{2 \cdot 4}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{4}{1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.5.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \cdot 4 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.6

Умножим $4$ на $4$ .

$16 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$16 - (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.8

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$16 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$16 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$16 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$16 - (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.8.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$16 - (9 - \frac{1^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.9

Единица в любой степени равна единице.

$16 - (9 - \frac{1}{3})$

Этап 8.2.3.10

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$16 - (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 8.2.3.11

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$16 - (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 8.2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$16 - \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

Этап 8.2.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.13.1

Умножим $9$ на $3$ .

$16 - \frac{27 - 1}{3}$

Этап 8.2.3.13.2

Вычтем $1$ из $27$ .

$16 - \frac{26}{3}$

Этап 8.2.3.14

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{26}{3}$

Этап 8.2.3.15

Объединим $16$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{26}{3}$

Этап 8.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 \cdot 3 - 26}{3}$

Этап 8.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.17.1

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{48 - 26}{3}$

Этап 8.2.3.17.2

Вычтем $26$ из $48$ .

$\frac{22}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{22}{3}$

Десятичная форма:

$7.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$7 \frac{1}{3}$

Этап 10