Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{x}{3}$ и ${(2 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}]$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x {(2 x + 1)}^{3}}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}] + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 1$ .

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{3} (x (3 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3} \cdot 1)$

Этап 4.8

Умножим ${(2 x + 1)}^{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2}) + {(2 x + 1)}^{3})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} (x (6 {(2 x + 1)}^{2})) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Этап 5.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x}{3} (6 {(2 x + 1)}^{2}) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Этап 5.3

Объединим $6$ и $\frac{x}{3}$ .

$\frac{6 x}{3} {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Этап 5.4

Объединим $\frac{6 x}{3}$ и ${(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{6 x {(2 x + 1)}^{2}}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x {(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Этап 5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 (1)} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 x {(2 x + 1)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Этап 5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x {(2 x + 1)}^{2}}{1} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Этап 5.5.2.4

Разделим $2 x {(2 x + 1)}^{2}$ на $1$ .

$2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Этап 5.6

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{2}$ из $2 x {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{2}$ из $2 x {(2 x + 1)}^{2}$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{2}$ из $\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{3}$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.6.3

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{2}$ из ${(2 x + 1)}^{2} (2 x) + {(2 x + 1)}^{2} (\frac{1}{3} (2 x + 1))$ .

${(2 x + 1)}^{2} (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.7

Перепишем ${(2 x + 1)}^{2}$ в виде $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.8

Развернем $(2 x + 1) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.9.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.2.1

Перенесем $x$ .

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.9.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.9.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$(4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.9.1.5

Умножим $2 x$ на $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.9.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.9.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x + 1))$

Этап 5.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{1}{3} (2 x) + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 5.10.2

Умножим $\frac{1}{3} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 5.10.2.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 5.10.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 5.11

Чтобы записать $2 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 5.12

Объединим $2 x$ и $\frac{3}{3}$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 5.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (\frac{2 x \cdot 3 + 2 x}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 5.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{2 x \cdot 3 + 2 x + 1}{3}$

Этап 5.15

Умножим $3$ на $2$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{6 x + 2 x + 1}{3}$

Этап 5.16

Добавим $6 x$ и $2 x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) \frac{8 x + 1}{3}$

Этап 5.17

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Этап 5.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.18.1

Умножим $4 x^{2} \frac{8 x + 1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.18.1.1

Объединим $4$ и $\frac{8 x + 1}{3}$ .

$x^{2} \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Этап 5.18.1.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + 4 x \frac{8 x + 1}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Этап 5.18.2

Умножим $4 x \frac{8 x + 1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.18.2.1

Объединим $4$ и $\frac{8 x + 1}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + x \frac{4 (8 x + 1)}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Этап 5.18.2.2

Объединим $x$ и $\frac{4 (8 x + 1)}{3}$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + 1 \frac{8 x + 1}{3}$

Этап 5.18.3

Умножим $\frac{8 x + 1}{3}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{x (4 (8 x + 1))}{3} + \frac{8 x + 1}{3}$

Этап 5.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} (4 (8 x + 1)) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.20.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x^{2} (8 x + 1) + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1 + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.20.5.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.20.5.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.5.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.20.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.5.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.5.2

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + x (4 (8 x + 1)) + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x + 1) + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x (8 x) + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.9

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x \cdot x + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.20.10.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.20.10.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 (x \cdot x) + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.10.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 4 \cdot 8 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.20.10.2

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{32 x^{3} + 4 x^{2} + 32 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.21

Добавим $4 x^{2}$ и $32 x^{2}$ .

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 4 x + 8 x + 1}{3}$

Этап 5.22

Добавим $4 x$ и $8 x$ .

$\frac{32 x^{3} + 36 x^{2} + 12 x + 1}{3}$