Математический анализ Примеры

$y = (2 x + 3) \sqrt{x^{2} + 3 x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 3 x}$ в виде ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x + 3) {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 x + 3$ и $g (x) = {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3 x$ .

$(2 x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3 x$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(2 x + 3) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 3) (\frac{{(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 8.3

Перенесем ${(x^{2} + 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 9

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 11

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 3 \cdot 1) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 13

Умножим $3$ на $1$ .

$(2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 3) + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 14

Возведем $2 x + 3$ в степень $1$ .

${(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3) \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 15

Возведем $2 x + 3$ в степень $1$ .

${(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1} \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(2 x + 3)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Добавим $1$ и $1$ .

${(2 x + 3)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 17.2

Объединим ${(2 x + 3)}^{2}$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 18

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 19

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 20

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 21

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 22

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0)$

Этап 23

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$

Этап 23.2

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 24

Чтобы записать $2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 25

Объединим $2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 27

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 28

Умножим ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Перенесем ${(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 ({(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 28.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 28.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 28.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 28.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 {(x^{2} + 3 x)}^{1}}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 29

Упростим $4 {(x^{2} + 3 x)}^{1}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 (x^{2} + 3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.2.1.1

Перепишем ${(2 x + 3)}^{2}$ в виде $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x + 3) + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.1.2

Развернем $(2 x + 3) (2 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3) + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.1.3.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.1.3.1.5

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.1.3.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.1.3.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 12 x + 9 + 4 x^{2} + 4 (3 x)}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.1.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 12 x + 9 + 4 x^{2} + 12 x}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.2

Добавим $4 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 + 12 x}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.3

Добавим $12 x$ и $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 24 x + 9}{2 {(x^{2} + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$