Математический анализ Примеры

$x = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ , $1 \leq y \leq 3$

Этап 1

Проверим непрерывность $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[1, 3]$ , найдем область определения $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{4 y^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 y^{2} = 0$

Этап 1.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $4 y^{2} = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разделим каждый член $4 y^{2} = 0$ на $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.1.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.1.2.1.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{4}$

Этап 1.1.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$y^{2} = 0$

Этап 1.1.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.1.2.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 0$

Этап 1.1.2.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 1.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \neq 0}$

Этап 1.2

$f (y)$ — непрерывное выражение в области $[1, 3]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2

Проверим дифференцируемость $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{8}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y^{4}}{8}$ по $y$ равна $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 2.1.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 2.1.1.2.4

Объединим $\frac{4}{8}$ и $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 2.1.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{3}$ .

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 2.1.1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 2.1.1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 2.1.1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{4 y^{2}}$ по $y$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Этап 2.1.1.3.2

Перепишем $\frac{1}{y^{2}}$ в виде ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.1.1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 2.1.1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 2.1.1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 2.1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Этап 2.1.1.3.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Этап 2.1.1.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

Этап 2.1.1.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

Этап 2.1.1.3.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Этап 2.1.1.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

Этап 2.1.1.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

Этап 2.1.1.3.10

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

Этап 2.1.1.3.11

Объединим $\frac{- 2}{4}$ и $y^{- 3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

Этап 2.1.1.3.12

Перенесем $y^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

Этап 2.1.1.3.13

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

Этап 2.1.1.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

Этап 2.1.1.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

Этап 2.1.1.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

Этап 2.1.1.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (y) = \frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

Этап 2.1.2

Первая производная $f (y)$ по $y$ равна $\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

Этап 2.2

Выясним, является ли производная непрерывной на $[1, 3]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[1, 3]$ , найдем область определения $f' (y) = \frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{2 y^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 y^{3} = 0$

Этап 2.2.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Разделим каждый член $2 y^{3} = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Разделим каждый член $2 y^{3} = 0$ на $2$ .

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.1.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.1.2.1.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.1.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$y^{3} = 0$

Этап 2.2.1.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{0}$

Этап 2.2.1.2.3

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.2.1.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$y = 0$

Этап 2.2.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \neq 0}$

Этап 2.2.2

$f' (y)$ — непрерывное выражение в области $[1, 3]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 2.3

Функция является дифференцируемой на $[1, 3]$ , поскольку производная является непрерывной на $[1, 3]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 3

Для нахождения длины дуги необходима непрерывность функции и ее производной на отрезке $[1, 3]$ .

Функция и ее производная являются непрерывными на замкнутом интервале $[1, 3]$ .

Этап 4

Найдем производную $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 4.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 4.2.4

Объединим $\frac{4}{8}$ и $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{3}$ .

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 4.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 4.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 4.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Этап 4.3.2

Перепишем $\frac{1}{y^{2}}$ в виде ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 4.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Этап 4.3.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Этап 4.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

Этап 4.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

Этап 4.3.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Этап 4.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

Этап 4.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

Этап 4.3.10

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

Этап 4.3.11

Объединим $\frac{- 2}{4}$ и $y^{- 3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

Этап 4.3.12

Перенесем $y^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

Этап 4.3.13

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

Этап 4.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

Этап 4.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

Этап 4.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

Этап 4.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

Этап 5

Чтобы найти длину дуги графика функции, воспользуемся формулой $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ .

$\int_{1}^{3} \sqrt{1 + {(\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}})}^{2}} d y$

Этап 6

Найдем интеграл.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{(y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1)}{y^{3}} d y$

Этап 6.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y$

Этап 6.2.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{3 \cdot - 1} d y$

Этап 6.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{- 3} d y$

Этап 6.3

Развернем $(y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} (y^{4} - y^{2} + 1) + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

Этап 6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} (y^{4} - y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

Этап 6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

Этап 6.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Этап 6.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Этап 6.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1) y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Этап 6.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2})) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Этап 6.3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Этап 6.3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2})) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.11

Изменим порядок $y^{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} - 1 \cdot y^{2} y^{2} y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.12

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} - 1 \cdot y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2 + 4} y^{- 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.14

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{6} y^{- 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{6 - 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.16

Вычтем $3$ из $6$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.17

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - (y^{2} y^{2}) y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{2 + 2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.19

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{4} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.20

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - (y^{4} y^{- 3}) + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{4 - 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.22

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{1} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.23

Упростим.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.24

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.25

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{2 - 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.26

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.27

Умножим $y^{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.28

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{4 - 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.29

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{1} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.30

Упростим.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.31

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.32

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - (y^{2} y^{- 3}) + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.33

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{2 - 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.34

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.35

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + 1 y^{- 3} d y$

Этап 6.3.36

Умножим $y^{- 3}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Этап 6.3.37

Перенесем $y^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Этап 6.3.38

Перенесем $- y$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + y - y + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Этап 6.3.39

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + 0 + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Этап 6.3.40

Добавим $y^{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Этап 6.3.41

Вычтем $y^{- 1}$ из $y^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + 0 + y^{- 3} d y$

Этап 6.3.42

Добавим $y^{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + y^{- 3} d y$

Этап 6.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} y^{3} d y + \int_{1}^{3} y^{- 3} d y)$

Этап 6.5

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} y^{- 3} d y)$

Этап 6.6

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{3} + - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3})$

Этап 6.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Объединим $\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{3}$ и $- \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

Этап 6.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{2} y^{- 2}$ в $3$ и в $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $81$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.5

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{9 \cdot 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.6

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{18} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.7

Чтобы записать $\frac{81}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{18} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.8

Чтобы записать $- \frac{1}{18}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.9.1

Умножим $\frac{81}{4}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.9.2

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{36} - \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.9.3

Умножим $\frac{1}{18}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{36} - \frac{2}{18 \cdot 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.9.4

Умножим $18$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{36} - \frac{2}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9 - 2}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.11.1

Умножим $81$ на $9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{729 - 2}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.11.2

Вычтем $2$ из $729$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.12

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.13

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Этап 6.7.2.2.14

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1))$

Этап 6.7.2.2.15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}))$

Этап 6.7.2.2.16

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Этап 6.7.2.2.17

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.17.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}))$

Этап 6.7.2.2.17.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{2}{4}))$

Этап 6.7.2.2.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - \frac{1 - 2}{4})$

Этап 6.7.2.2.19

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - \frac{- 1}{4})$

Этап 6.7.2.2.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - - \frac{1}{4})$

Этап 6.7.2.2.21

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + 1 (\frac{1}{4}))$

Этап 6.7.2.2.22

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{1}{4})$

Этап 6.7.2.2.23

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9})$

Этап 6.7.2.2.24

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.24.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9})$

Этап 6.7.2.2.24.2

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{9}{36})$

Этап 6.7.2.2.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{727 + 9}{36}$

Этап 6.7.2.2.26

Добавим $727$ и $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{736}{36}$

Этап 6.7.2.2.27

Сократим общий множитель $736$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.27.1

Вынесем множитель $4$ из $736$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 (184)}{36}$

Этап 6.7.2.2.27.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.27.2.1

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 184}{4 \cdot 9}$

Этап 6.7.2.2.27.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 184}{4 \cdot 9}$

Этап 6.7.2.2.27.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{184}{9}$

Этап 6.7.2.2.28

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{184}{9}$ .

$\frac{184}{2 \cdot 9}$

Этап 6.7.2.2.29

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{184}{18}$

Этап 6.7.2.2.30

Сократим общий множитель $184$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.30.1

Вынесем множитель $2$ из $184$ .

$\frac{2 (92)}{18}$

Этап 6.7.2.2.30.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.30.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 \cdot 92}{2 \cdot 9}$

Этап 6.7.2.2.30.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 92}{2 \cdot 9}$

Этап 6.7.2.2.30.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{92}{9}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{92}{9}$

Десятичная форма:

$10.\overline{2}$

Форма смешанных чисел:

$10 \frac{2}{9}$

Этап 8