Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{1 - \cos (2 x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x \tan (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Этап 1.1.2.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Этап 1.1.2.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Этап 1.1.2.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 1.1.3.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 1.1.3.1.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{1 - \cos (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Этап 1.3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Этап 1.3.5

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $1 - \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (2 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Этап 1.3.8.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Этап 1.3.8.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Этап 1.3.8.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Этап 1.3.8.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}$

Этап 1.3.8.5

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}$

Этап 1.3.8.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- 2 \sin (2 x))}$

Этап 1.3.8.7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 + 2 \sin (2 x)}$

Этап 1.3.9

Добавим $0$ и $2 \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{2 \sin (2 x)}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\sin (2 x)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.2.6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1^{2} + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.2.7.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.2.7.1.3

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.2.7.1.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.2.7.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Этап 3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Этап 3.1.3.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) + \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) + \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x \sec^{2} (x) + \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.3.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.3.5

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.3.6

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.3.9

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.4

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Добавим $\sec^{2} (x)$ и $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.4

Умножим $2 x \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.4.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot x}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.6

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.7

Объединим.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.8

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.8.1

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.8.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.8.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.9

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.10

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.5.3.12

Объединим $2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 3.3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 3.3.6.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 3.3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 3.3.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Этап 3.3.9

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Этап 3.3.10

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Этап 3.4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos^{3} (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Этап 3.4.2.2

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{2 \cos (2 x)}$

Этап 3.4.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Этап 3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{\cos (2 x)}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{lim_{x \to 0} 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{lim_{x \to 0} 2 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 4.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 4.6

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 4.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 4.8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 4.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 4.10

Вынесем степень $3$ в выражении $\cos^{3} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 4.11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 4.12

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 4.13

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.2

Объединим.

$\frac{1 \frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1 \frac{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1 \frac{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.3.3

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{1 \frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.3.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 \frac{0 + 2 \cdot 1}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1 \frac{0 + 2}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.3.6

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{1 \frac{2}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 \frac{2}{1^{3}}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 (\frac{2}{1})}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.5

Умножим $\frac{2}{1}$ на $1$ .

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cos (0)}$

Этап 6.6.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cdot 1}$

Этап 6.7

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{2}{4 \cdot 1}$

Этап 6.8

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{2}{4}$

Этап 6.9

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Этап 6.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 6.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 6.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$