Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 9}} d x$

Этап 1

Пусть $x = 3 \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $3 \sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $9 \tan^{2} (t)$ в виде ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $3 \tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $3 \tan (t)$ из ${(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $3 \tan (t)$ из $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{3 \tan (t) {(3 \sec (t))}^{2}} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

Этап 2.2.1.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Этап 2.2.2

Объединим $\frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}}$ и $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(3 \sec (t))}^{2}} d t$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{3^{2} \sec^{2} (t)} d t$

Этап 3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Этап 4

Сократим общий множитель $\sec (t)$ и $\sec^{2} (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим на $1$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{9 \sec (t)} d t$

Этап 5

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sec (t)} d t$

Этап 6

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Этап 7

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{9} (1 \cos (t)) d t$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\cos (t)$ на $1$ .

$\int \frac{1}{9} \cos (t) d t$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{9}$ и $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t)}{9} d t$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} \int \cos (t) d t$

Этап 10

Интеграл $\cos (t)$ по $t$ имеет вид $\sin (t)$ .

$\frac{1}{9} (\sin (t) + C)$

Этап 11

Упростим.

$\frac{1}{9} \sin (t) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{x}{3})) + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$