Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{\frac{2 x}{x + 1}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{2 x}{x + 1}}$ в виде ${(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2 x}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 x}{x + 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 1}]$

Этап 7.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{x + 1}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Этап 7.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Этап 7.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Этап 7.3.2.2

Перепишем это выражение.

$1 {(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Этап 7.3.3

Умножим ${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}}$ на $1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x + 1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 9.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 9.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 9.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 9.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 9.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 9.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 9.6.4

Добавим $0$ и $1$ .

${(\frac{2 x}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

${(\frac{x + 1}{2 x})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 10.2

Применим правило умножения к $\frac{x + 1}{2 x}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 10.3

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 10.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 10.4.2

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 10.4.3

Умножим ${(x + 1)}^{2}$ на ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2})}$

Этап 10.4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Этап 10.4.3.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 10.4.3.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Этап 10.4.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Этап 10.4.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Этап 10.4.3.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$