Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} (2 x^{2} - 12 x + 13) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{3} 2 x^{2} - 12 x + 13 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 12 x d x + \int_{1}^{3} 13 d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 12 x d x + \int_{1}^{3} 13 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 12 x d x + \int_{1}^{3} 13 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 12 x d x + \int_{1}^{3} 13 d x$

Этап 6

Поскольку $- 12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 12$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 12 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} 13 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 13 d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 13 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 13 x]_{1}^{3}$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $1$ .

$2 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 13 x]_{1}^{3}$

Этап 10.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $1$ .

$2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 13 x]_{1}^{3}$

Этап 10.3

Найдем значение $13 x$ в $3$ и в $1$ .

$2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$2 (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$2 (9 - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 (9 - \frac{1}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.4

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.5

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.7.1

Умножим $9$ на $3$ .

$2 \frac{27 - 1}{3} - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.7.2

Вычтем $1$ из $27$ .

$2 (\frac{26}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.8

Объединим $2$ и $\frac{26}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 26}{3} - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.9

Умножим $2$ на $26$ .

$\frac{52}{3} - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{52}{3} - 12 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{52}{3} - 12 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{52}{3} - 12 \frac{9 - 1}{2} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.13

Вычтем $1$ из $9$ .

$\frac{52}{3} - 12 (\frac{8}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.14

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.14.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{52}{3} - 12 \frac{2 \cdot 4}{2} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{52}{3} - 12 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{52}{3} - 12 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{52}{3} - 12 (\frac{4}{1}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.14.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{52}{3} - 12 \cdot 4 + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.15

Умножим $- 12$ на $4$ .

$\frac{52}{3} - 48 + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.16

Чтобы записать $- 48$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} - 48 \cdot \frac{3}{3} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.17

Объединим $- 48$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} + \frac{- 48 \cdot 3}{3} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{52 - 48 \cdot 3}{3} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.19.1

Умножим $- 48$ на $3$ .

$\frac{52 - 144}{3} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.19.2

Вычтем $144$ из $52$ .

$\frac{- 92}{3} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{92}{3} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.21

Умножим $13$ на $3$ .

$- \frac{92}{3} + 39 - 13 \cdot 1$

Этап 10.4.22

Умножим $- 13$ на $1$ .

$- \frac{92}{3} + 39 - 13$

Этап 10.4.23

Вычтем $13$ из $39$ .

$- \frac{92}{3} + 26$

Этап 10.4.24

Чтобы записать $26$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{92}{3} + 26 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 10.4.25

Объединим $26$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{92}{3} + \frac{26 \cdot 3}{3}$

Этап 10.4.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 92 + 26 \cdot 3}{3}$

Этап 10.4.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.27.1

Умножим $26$ на $3$ .

$\frac{- 92 + 78}{3}$

Этап 10.4.27.2

Добавим $- 92$ и $78$ .

$\frac{- 14}{3}$

Этап 10.4.28

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{14}{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{14}{3}$

Десятичная форма:

$- 4.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$- 4 \frac{2}{3}$

Этап 12