Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $i$ из $i - i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{i^{1} - i^{2}}{3}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $i$ из $i^{1}$ .

$\frac{i \cdot 1 - i^{2}}{3}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $i$ из $- i^{2}$ .

$\frac{i \cdot 1 + i (- i)}{3}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $i$ из $i \cdot 1 + i (- i)$ .

$\frac{i (1 - i)}{3}$

Этап 1.2

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i (1 - i)}{3}$

Этап 2

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $i$ было равно $1$ .

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} - \sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Этап 3.1.2

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Этап 3.2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} + \sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$

Этап 3.3

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем $\frac{1}{3}$ за символ суммирования.

$\frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i$

Этап 3.3.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.3.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(\frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Этап 3.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Добавим $10$ и $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Этап 3.3.4.1.2

Умножим $10$ на $11$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{110}{2}$

Этап 3.3.4.1.3

Разделим $110$ на $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 55$

Этап 3.3.4.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $55$ .

$\frac{55}{3}$

Этап 3.4

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем $- \frac{1}{3}$ за символ суммирования.

$- \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i^{2}$

Этап 3.4.2

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.4.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Этап 3.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Добавим $10$ и $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Этап 3.4.4.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.2.1

Умножим $10$ на $11$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Этап 3.4.4.1.2.2

Умножим $2$ на $10$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Этап 3.4.4.1.3

Добавим $20$ и $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 \cdot 21}{6}$

Этап 3.4.4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Умножим $110$ на $21$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Этап 3.4.4.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Этап 3.4.4.2.2.2

Вынесем множитель $3$ из $2310$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (770)}{6}$

Этап 3.4.4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 770}{6}$

Этап 3.4.4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$- 1 (\frac{770}{6})$

Этап 3.4.4.2.3

Сократим общий множитель $770$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $770$ .

$- 1 \frac{2 (385)}{6}$

Этап 3.4.4.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Этап 3.4.4.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Этап 3.4.4.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 (\frac{385}{3})$

Этап 3.4.4.2.4

Перепишем $- 1 (\frac{385}{3})$ в виде $- (\frac{385}{3})$ .

$- \frac{385}{3}$

Этап 3.5

Сложим результаты суммирования.

$\frac{55}{3} - \frac{385}{3}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{55 - 385}{3}$

Этап 3.6.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $385$ из $55$ .

$\frac{- 330}{3}$

Этап 3.6.2.2

Разделим $- 330$ на $3$ .

$- 110$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Этап 4.1.2

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{3} \frac{i - i^{2}}{3}$

Этап 4.2

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{3} + \frac{2 - 2^{2}}{3} + \frac{3 - 3^{2}}{3}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 1^{2} + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Этап 4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Этап 4.3.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 1 \cdot 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Этап 4.3.2.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Этап 4.3.2.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 1 \cdot 9}{3}$

Этап 4.3.2.6

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Этап 4.3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Этап 4.3.4

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Этап 4.3.5

Вычтем $4$ из $2$ .

$\frac{- 2 + 3 - 9}{3}$

Этап 4.3.6

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\frac{1 - 9}{3}$

Этап 4.3.7

Вычтем $9$ из $1$ .

$\frac{- 8}{3}$

Этап 4.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{3}$

Этап 5

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$- 110 + \frac{8}{3}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $- 110$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 110 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}$

Этап 6.2

Объединим $- 110$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 110 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}$

Этап 6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 110 \cdot 3 + 8}{3}$

Этап 6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $- 110$ на $3$ .

$\frac{- 330 + 8}{3}$

Этап 6.4.2

Добавим $- 330$ и $8$ .

$\frac{- 322}{3}$

Этап 6.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{322}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{322}{3}$

Десятичная форма:

$- 107.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$- 107 \frac{1}{3}$