Математический анализ Примеры

$y = {(2 x^{- 2} + 3)}^{- 3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(2 x^{- 2} + 3)}^{- 3})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [{(2 \frac{1}{x^{2}} + 3)}^{- 3}]$

Этап 3.1.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [{(\frac{2}{x^{2}} + 3)}^{- 3}]$

Этап 3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2}{x^{2}} + 3)}^{3}}]$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}})}^{3}}]$

Этап 3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{{(\frac{2 + 3 x^{2}}{x^{2}})}^{3}}]$

Этап 3.3.3

Применим правило умножения к $\frac{2 + 3 x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{{(x^{2})}^{3}}}]$

Этап 3.3.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{x^{2 \cdot 3}}}]$

Этап 3.3.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}{x^{6}}}]$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d}{d y} [1 \frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}]$

Этап 3.5

Умножим $\frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}$ на $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{6}}{{(2 + 3 x^{2})}^{3}}]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = x^{6}$ и $g (y) = {(2 + 3 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{({(2 + 3 x^{2})}^{3})}^{2}}$

Этап 3.7

Перемножим экспоненты в ${({(2 + 3 x^{2})}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.7.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} \frac{d}{d y} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{6}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.8.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{3} (6 x^{5} \frac{d}{d y} [x]) - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.9

Перенесем $6$ влево от ${(2 + 3 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{6 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} \frac{d}{d y} [x] - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.10

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} \frac{d}{d y} [{(2 + 3 x^{2})}^{3}]}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 + 3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.11.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.11.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 + 3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - x^{6} (3 {(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.12

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [2 + 3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.12.2

По правилу суммы производная $2 + 3 x^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.12.3

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (0 + \frac{d}{d y} [3 x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.12.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [3 x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.12.5

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 x^{2}$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (3 \frac{d}{d y} [x^{2}]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.12.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.6.1

Перенесем $3$ влево от ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 3 x^{6} (3 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.12.6.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.13

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $x$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.13.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (2 u_{3} \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.13.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $x$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]))}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Перенесем $2$ влево от ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 9 x^{6} (2 \cdot {(2 + 3 x^{2})}^{2} x \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.14.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 (x^{1} x^{6}) ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{1 + 6} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.17

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.18

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.19.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.19.1.1

Вынесем множитель $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ из $6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x' - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.19.1.1.1

Вынесем множитель $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ из $6 {(2 + 3 x^{2})}^{3} x^{5} x'$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) - 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.19.1.1.2

Вынесем множитель $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ из $- 18 x^{7} ({(2 + 3 x^{2})}^{2} x')$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) + 6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (- 3 x^{2})}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.19.1.1.3

Вынесем множитель $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ из $6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2}) + 6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (- 3 x^{2})$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 3 x^{2} - 3 x^{2})}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.19.1.2

Вычтем $3 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' (2 + 0)}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.19.1.3

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{6 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x' \cdot 2}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.19.1.4

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{12 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.19.2

Сократим общий множитель ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ и ${(2 + 3 x^{2})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.19.2.1

Вынесем множитель ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ из $12 {(2 + 3 x^{2})}^{2} x^{5} x'$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{6}}$

Этап 3.19.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.19.2.2.1

Вынесем множитель ${(2 + 3 x^{2})}^{2}$ из ${(2 + 3 x^{2})}^{6}$ .

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{2} {(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Этап 3.19.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 + 3 x^{2})}^{2} (12 x^{5} x')}{{(2 + 3 x^{2})}^{2} {(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Этап 3.19.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(2 + 3 x^{2})}^{4}}$

Этап 3.19.3

Изменим порядок членов.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} = 1$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} = 1$

Этап 5.2

Умножим обе части на ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} {(3 x^{2} + 2)}^{4} = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x^{5} x'}{{(3 x^{2} + 2)}^{4}} {(3 x^{2} + 2)}^{4} = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Этап 5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$12 x^{5} x' = 1 {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим ${(3 x^{2} + 2)}^{4}$ на $1$ .

$12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$ на $12 x^{5}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $12 x^{5} x' = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$ на $12 x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5} x'}{12 x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x^{5} x'}{12 x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{5} x'}{x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{5} x'}{x^{5}} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{4}}{12 x^{5}}$