Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (3 x - 2 \sqrt{x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} 3 x - 2 \sqrt{x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Этап 7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 (\frac{1}{2} - 0) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 (\frac{1}{2} + 0) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.5

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$3 (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.6

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.8

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.9

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.10

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 9.2.3.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 9.2.3.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.12

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Этап 9.2.3.13

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 9.2.3.14

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.14.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 9.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 9.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 9.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 9.2.3.14.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - 0)$

Этап 9.2.3.15

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} + 0)$

Этап 9.2.3.16

Добавим $\frac{2}{3}$ и $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3})$

Этап 9.2.3.17

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

Этап 9.2.3.18

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 4}{3}$

Этап 9.2.3.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2} - \frac{4}{3}$

Этап 9.2.3.20

Чтобы записать $\frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 9.2.3.21

Чтобы записать $- \frac{4}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.2.3.22

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.22.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.2.3.22.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.2.3.22.3

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 9.2.3.22.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{4 \cdot 2}{6}$

Этап 9.2.3.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \cdot 3 - 4 \cdot 2}{6}$

Этап 9.2.3.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.24.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 - 4 \cdot 2}{6}$

Этап 9.2.3.24.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{9 - 8}{6}$

Этап 9.2.3.24.3

Вычтем $8$ из $9$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{6}$

Десятичная форма:

$0.1\overline{6}$

Этап 11