Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Этап 1.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Этап 1.1.3

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Этап 1.3.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} 1 x$

Этап 1.5

Умножим $x$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} x$

Этап 2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\infty$