Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \sin (x)}{1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.5.3

Вычтем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.5.4

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.3.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{1 - 2 lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin^{2} (x)}$

Этап 1.1.3.1.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{1 - 2 {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x))}^{2}}$

Этап 1.1.3.1.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{1 - 2 \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - 2 \sin^{2} (\frac{π}{4})}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{4})}$

Этап 1.1.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Этап 1.1.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Этап 1.1.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Этап 1.1.3.3.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \sin (x)}{1 - 2 \sin^{2} (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \sin^{2} (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \sin^{2} (x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\cos (x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \sin^{2} (x)]}$

Этап 1.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \sin^{2} (x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \sin^{2} (x)]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - 2 \sin^{2} (x)]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $1 - 2 \sin^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin^{2} (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{0 - 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}$

Этап 1.3.7.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{0 - 2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])}$

Этап 1.3.7.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{0 - 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}$

Этап 1.3.7.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{0 - 2 (2 \sin (x) \cos (x))}$

Этап 1.3.7.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{0 - 4 \sin (x) \cos (x)}$

Этап 1.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Вычтем $4 \sin (x) \cos (x)$ из $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{- 4 \sin (x) \cos (x)}$

Этап 1.3.8.2

Изменим порядок множителей в $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{- 4 \cos (x) \sin (x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{- 4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) \sin (x)}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) \sin (x)}$

Этап 2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) \sin (x)}$

Этап 2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) \sin (x)}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Этап 2.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

Этап 2.8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- (\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}))}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4}))}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2.5

Перепишем $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2.5.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Сократим выражение $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{2 \sqrt{2}}{2}}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \frac{\sqrt{2}}{1}}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2.5.2.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.5.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.6

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}}$

Этап 4.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}}$

Этап 4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}}$

Этап 4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}}$

Этап 4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}}$

Этап 4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{2^{1}}{4}}$

Этап 4.7.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{2}{4}}$

Этап 4.8

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{2 (1)}{4}}$

Этап 4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- \sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$

Этап 4.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4} (- \sqrt{2} \cdot 2)$

Этап 4.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$\frac{- 1}{4} (- \sqrt{2} \cdot 2)$

Этап 4.10.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{- 1}{2 (2)} (- \sqrt{2} \cdot 2)$

Этап 4.10.3

Вынесем множитель $2$ из $- \sqrt{2} \cdot 2$ .

$\frac{- 1}{2 (2)} (2 \cdot (- \sqrt{2}))$

Этап 4.10.4

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} (2 \cdot (- \sqrt{2}))$

Этап 4.10.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{2} (- \sqrt{2})$

Этап 4.11

Объединим $\frac{- 1}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$- \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.13

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.13.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$0.70710678 \dots$