Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x}{4 x^{3} - 7 x^{2} + 4 x - 3}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x^{4}}{x^{3}} + \frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{8 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 3 x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} (- 3 x)}{x^{3}} + \frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{8 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} (- 3 x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{8 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x}{1} + \frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{8 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.1.2.4

Разделим $- 3 x$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + \frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{8 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + \frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{8 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2

Разделим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{x^{2} \cdot 8}{x^{3}} + \frac{- 8 x}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{x^{2} \cdot 8}{x^{2} x} + \frac{- 8 x}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{x^{2} \cdot 8}{x^{2} x} + \frac{- 8 x}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} + \frac{- 8 x}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} + \frac{x \cdot - 8}{x^{3}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} + \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{2}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} + \frac{x \cdot - 8}{x \cdot x^{2}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} + \frac{- 8}{x^{2}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{4 + \frac{- 7 x^{2}}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 7 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 7}{x^{3}} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 7}{x^{2} x} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 7}{x^{2} x} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{4 + \frac{- 7}{x} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{4 - \frac{7}{x} + \frac{4 x}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{4 - \frac{7}{x} + \frac{x \cdot 4}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{4 - \frac{7}{x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{4 - \frac{7}{x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{4 - \frac{7}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{3}}}$

Этап 2.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{4 - \frac{7}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 3

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{8}{x}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + 0 - \frac{8}{x^{2}}}{4 - \frac{7}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 4

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{8}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + 0 - 0}{4 - \frac{7}{x} + \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 5

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{7}{x}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + 0 - 0}{4 - 0 + \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 6

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{4}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + 0 - 0}{4 - 0 + 0 - \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 7

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{3}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 4 + 0 - 0}{4 - 0 + 0 - 0}$

Этап 8

Поскольку числитель не ограничен, когда знаменатель стремится к постоянному числу, дробь $\frac{- 3 x + 4 + 0 - 0}{4 - 0 + 0 - 0}$ стремится к минус бесконечности.

$- \infty$