Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} (1 - 2 x) d x$

Этап 1

Развернем $x^{\frac{1}{3}} (1 - 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) d x$

Этап 1.2

Изменим порядок $x^{\frac{1}{3}}$ и $1$ .

$\int_{2}^{4} 1 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) d x$

Этап 1.3

Изменим порядок $x^{\frac{1}{3}}$ и $- 2$ .

$\int_{2}^{4} 1 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} x d x$

Этап 1.4

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} x d x$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) d x$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3} + 1} d x$

Этап 1.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} d x$

Этап 1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1 + 3}{3}} d x$

Этап 1.9

Добавим $1$ и $3$ .

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{4} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{2}^{4} - 2 x^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 2 x^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{2}^{4} - 2 \int_{2}^{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{4}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{2}^{4} - 2 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{2}^{4})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{3}{7}$ и $x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{2}^{4} - 2 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{2}^{4})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ в $4$ и в $2$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{2}^{4})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ в $4$ и в $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $4^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 6.2.3.2

Перенесем $4^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3 \cdot 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{- 1} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 6.2.3.3

Умножим $4^{\frac{4}{3}}$ на $4^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.1

Перенесем $4^{- 1}$ .

$3 \cdot (4^{- 1} \cdot 4^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 6.2.3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \cdot 4^{- 1 + \frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 6.2.3.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 \cdot 4^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 6.2.3.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 6.2.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 6.2.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 \cdot 4^{\frac{- 3 + 4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 6.2.3.3.6.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 6.2.3.4

Объединим $2^{\frac{4}{3}}$ и $\frac{3}{4}$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{2^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 6.2.3.5

Перенесем $3$ влево от $2^{\frac{4}{3}}$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$

Этап 6.2.3.6

Чтобы записать $- 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}) \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.2.3.7

Объединим $- 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$ и $\frac{4}{4}$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{- 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}) \cdot 4}{4}$

Этап 6.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 2 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}) \cdot 4}{4}$

Этап 6.2.3.9

Умножим $4$ на $- 2$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 8 (\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})}{4}$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - 8 (- \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})}{4}$

Этап 6.3.1.1.2

Умножим $- 8 \frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Объединим $- 8$ и $\frac{3 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 (3 \cdot 4^{\frac{7}{3}})}{7} - 8 (- \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})}{4}$

Этап 6.3.1.1.2.2

Умножим $3$ на $- 8$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} - 8 (- \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})}{4}$

Этап 6.3.1.1.3

Умножим $- 8 (- \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} + 8 \frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

Этап 6.3.1.1.3.2

Объединим $8$ и $\frac{3 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{8 (3 \cdot 2^{\frac{7}{3}})}{7}}{4}$

Этап 6.3.1.1.3.3

Умножим $3$ на $8$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + \frac{- 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

Этап 6.3.1.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} - \frac{24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

Этап 6.3.1.1.5

Чтобы записать $- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{7}{7} + \frac{24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

Этап 6.3.1.1.6

Объединим $- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$ и $\frac{7}{7}$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{7} + \frac{24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

Этап 6.3.1.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 7 + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

Этап 6.3.1.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 7 + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

Этап 6.3.1.1.9

Умножим $7$ на $- 3$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$

Этап 6.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 6.3.1.3

Умножим $\frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Умножим $\frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7}$ на $\frac{1}{4}$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4}$

Этап 6.3.1.3.2

Умножим $7$ на $4$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

Этап 6.3.2

Чтобы записать $3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{28}{28}$ .

$3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{28}{28} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

Этап 6.3.3

Объединим $3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{28}{28}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot 28}{28} + \frac{- 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

Этап 6.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot 28 - 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

Этап 6.3.5

Умножим $28$ на $3$ .

$\frac{84 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{84 \cdot 4^{\frac{1}{3}} - 21 \cdot 2^{\frac{4}{3}} + 24 \cdot 2^{\frac{7}{3}} - 24 \cdot 4^{\frac{7}{3}}}{28}$

Десятичная форма:

$- 14.57802067 \dots$

Этап 8