Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) d θ$

Этап 1

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (θ)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 + \sec^{2} (θ) d θ$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 d θ + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Этап 4

Поскольку производная $\tan (θ)$ равна $\sec^{2} (θ)$ , интеграл $\sec^{2} (θ)$ равен $\tan (θ)$ .

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $- θ]_{0}^{\frac{π}{2}}$ и $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$- θ + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $- θ + \tan (θ)$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

$(- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})) - (- 0 + \tan (0))$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - (0 + \tan (0))$

Этап 5.2.2.2

Добавим $0$ и $\tan (0)$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - \tan (0)$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - 0$

Этап 5.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) + 0$

Этап 5.3.3

Добавим $- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$ и $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$

Этап 6

Точное значение $\tan (\frac{π}{2})$ : $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим $\frac{π}{2}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

Этап 6.2

Применим формулу для суммы углов.

$- \frac{π}{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Этап 6.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Этап 6.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Этап 6.5

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}$

Этап 6.6

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.7

Упростим $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Умножим $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

Этап 6.7.1.1.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

Этап 6.7.1.1.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

Этап 6.7.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

Этап 6.7.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

Этап 6.7.1.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

Этап 6.7.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

Этап 6.7.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Этап 6.7.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Этап 6.7.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}$

Этап 6.7.1.2.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Этап 6.7.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Этап 6.7.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}$

Этап 6.7.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Этап 6.7.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Этап 6.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Этап 7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные