Математический анализ Примеры

$r = \tan (θ) \sec (θ)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d θ} (r) = \frac{d}{d θ} (\tan (θ) \sec (θ))$

Этап 2

Производная $r$ по $θ$ равна $r'$ .

$r'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = \tan (θ)$ и $g (θ) = \sec (θ)$ .

$\tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Этап 3.2

Производная $\sec (θ)$ по $θ$ равна $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Этап 3.3

Возведем $\tan (θ)$ в степень $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Этап 3.4

Возведем $\tan (θ)$ в степень $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Этап 3.7

Производная $\tan (θ)$ по $θ$ равна $\sec^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) \sec^{2} (θ)$

Этап 3.8

Умножим $\sec (θ)$ на $\sec^{2} (θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $\sec (θ)$ на $\sec^{2} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $\sec (θ)$ в степень $1$ .

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ)$

Этап 3.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + {\sec (θ)}^{1 + 2}$

Этап 3.8.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$r' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$

Этап 5

Заменим $r'$ на $\frac{d r}{d θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$