Математический анализ Примеры

$\int (x^{2} + 3 x - 1) e^{2 x} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} e^{2 x} + 3 x e^{2 x} - 1 e^{2 x} d x$

Этап 1.2

Перепишем $- 1 e^{2 x}$ в виде $- e^{2 x}$ .

$\int x^{2} e^{2 x} + 3 x e^{2 x} - e^{2 x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} e^{2 x} d x + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{2 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 4.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 6.3

Умножим $\int e^{2 x} (x) d x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 8.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 10

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 10.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 11

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 13.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 14

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int 3 x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 15

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int x e^{2 x} d x + \int - e^{2 x} d x$

Этап 16

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int - e^{2 x} d x$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int - e^{2 x} d x$

Этап 17.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int - e^{2 x} d x$

Этап 17.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int - e^{2 x} d x$

Этап 18

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int - e^{2 x} d x$

Этап 19

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Тогда $d u_{2} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 19.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 19.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 19.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 19.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}) + \int - e^{2 x} d x$

Этап 20

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}) + \int - e^{2 x} d x$

Этап 21

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})) + \int - e^{2 x} d x$

Этап 22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int - e^{2 x} d x$

Этап 22.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int - e^{2 x} d x$

Этап 23

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)) + \int - e^{2 x} d x$

Этап 24

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)) - \int e^{2 x} d x$

Этап 25

Пусть $u_{3} = 2 x$ . Тогда $d u_{3} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Пусть $u_{3} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 25.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 25.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 25.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 25.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)) - \int e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Этап 26

Объединим $e^{u_{3}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)) - \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Этап 27

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)) - (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Этап 28

Интеграл $e^{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $e^{u_{3}}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 3 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)) - \frac{1}{2} (e^{u_{3}} + C)$

Этап 29

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1

Упростим.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{2} - \frac{3 e^{u_{2}}}{4} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 29.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- x e^{2 x} + 3 x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{3 e^{u_{2}}}{4} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 29.2.2

Добавим $- x e^{2 x}$ и $3 x e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{2 x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{3 e^{u_{2}}}{4} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 29.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{2 x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{3 e^{u_{2}}}{4} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 29.2.3.2

Разделим $x e^{2 x}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{3 e^{u_{2}}}{4} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 29.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{e^{u_{1}} - 3 e^{u_{2}}}{4} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 29.2.5

Вычтем $3 e^{u_{2}}$ из $e^{u_{1}}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{- 2 e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 29.2.6

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{u_{1}}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{2 (- e^{u_{1}})}{4} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 29.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{2 (- e^{u_{1}})}{2 (2)} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 29.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{2 (- e^{u_{1}})}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 29.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{- e^{u_{1}}}{2} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 29.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - \frac{e^{u_{1}}}{2} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 29.2.8

Чтобы записать $- \frac{1}{2} e^{u_{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - \frac{e^{u_{1}}}{2} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 29.2.9

Объединим $- \frac{1}{2} e^{u_{3}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - \frac{e^{u_{1}}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2}{2} + C$

Этап 29.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{- e^{u_{1}} - \frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2}{2} + C$

Этап 29.2.11

Объединим $e^{u_{3}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{- e^{u_{1}} - \frac{e^{u_{3}}}{2} \cdot 2}{2} + C$

Этап 29.2.12

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{- e^{u_{1}} - 2 \frac{e^{u_{3}}}{2}}{2} + C$

Этап 29.2.13

Объединим $- 2$ и $\frac{e^{u_{3}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{- e^{u_{1}} + \frac{- 2 e^{u_{3}}}{2}}{2} + C$

Этап 29.2.14

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.14.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{u_{3}}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{- e^{u_{1}} + \frac{2 (- e^{u_{3}})}{2}}{2} + C$

Этап 29.2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{- e^{u_{1}} + \frac{2 (- e^{u_{3}})}{2 (1)}}{2} + C$

Этап 29.2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{- e^{u_{1}} + \frac{2 (- e^{u_{3}})}{2 \cdot 1}}{2} + C$

Этап 29.2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{- e^{u_{1}} + \frac{- e^{u_{3}}}{1}}{2} + C$

Этап 29.2.14.2.4

Разделим $- e^{u_{3}}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{- e^{u_{1}} - e^{u_{3}}}{2} + C$

Этап 29.2.15

Вычтем $e^{u_{3}}$ из $- e^{u_{1}}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{- 2 e^{u_{1}}}{2} + C$

Этап 29.2.16

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.16.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{u_{1}}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{2 (- e^{u_{1}})}{2} + C$

Этап 29.2.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{2 (- e^{u_{1}})}{2 (1)} + C$

Этап 29.2.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{2 (- e^{u_{1}})}{2 \cdot 1} + C$

Этап 29.2.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{- e^{u_{1}}}{1} + C$

Этап 29.2.16.2.4

Разделим $- e^{u_{1}}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - e^{u_{1}} + C$

Этап 30

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - e^{2 x} + C$