Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 4}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{n}}$ на $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{n}}$ на $\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} \sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1.2.2

Возведем $\sqrt{n}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1} \sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1.2.3

Возведем $\sqrt{n}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1} {\sqrt{n}}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{\sqrt{n}}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1.2.6

Перепишем ${\sqrt{n}}^{2}$ в виде $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{n}$ в виде $n^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{{(n^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{n}}{n^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{n}}{n^{1}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1.2.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Этап 1.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ на $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - (\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \cdot \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}})$

Этап 1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ на $\frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} \sqrt{n + 1}}$

Этап 1.4.2

Возведем $\sqrt{n + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} \sqrt{n + 1}}$

Этап 1.4.3

Возведем $\sqrt{n + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1} {\sqrt{n + 1}}^{1}}$

Этап 1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{1 + 1}}$

Этап 1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{\sqrt{n + 1}}^{2}}$

Этап 1.4.6

Перепишем ${\sqrt{n + 1}}^{2}$ в виде $n + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{n + 1}$ в виде ${(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{({(n + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{{(n + 1)}^{1}}$

Этап 1.4.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{n}}{n} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{\sqrt{n}}{n}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{n + 1}{n + 1}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{n}{n}$ .

$\frac{\sqrt{n}}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $n (n + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{\sqrt{n}}{n}$ на $\frac{n + 1}{n + 1}$ .

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 1}$ на $\frac{n}{n}$ .

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1} n}{(n + 1) n}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(n + 1) n$ .

$\frac{\sqrt{n} (n + 1)}{n (n + 1)} - \frac{\sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{n} (n + 1) - \sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{n}$ в виде $n^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (n + 1) - \sqrt{n + 1} n}{n (n + 1)}$

Этап 6.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{n + 1}$ в виде ${(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (n + 1) - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{n^{\frac{1}{2}} n + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Этап 6.4

Умножим $n^{\frac{1}{2}}$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $n^{\frac{1}{2}}$ на $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Возведем $n$ в степень $1$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} n^{1} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Этап 6.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{n^{\frac{1}{2} + 1} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Этап 6.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{n^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Этап 6.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{n^{\frac{1 + 2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Этап 6.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Этап 6.5

Умножим $n^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}} - {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} n}{n (n + 1)}$

Этап 6.6

Изменим порядок членов.

$\frac{- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

Этап 6.7

Перепишем $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вынесем множитель $n^{\frac{1}{2}}$ из $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Вынесем множитель $n^{\frac{1}{2}}$ из $- n {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{3}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

Этап 6.7.1.2

Вынесем множитель $n^{\frac{1}{2}}$ из $n^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{n (n + 1)}$

Этап 6.7.1.3

Умножим на $1$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}} + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{n (n + 1)}$

Этап 6.7.1.4

Вынесем множитель $n^{\frac{1}{2}}$ из $n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} n^{\frac{2}{2}}$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{n (n + 1)}$

Этап 6.7.1.5

Вынесем множитель $n^{\frac{1}{2}}$ из $n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}}) + n^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{2}{2}} + 1)}{n (n + 1)}$

Этап 6.7.2

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n^{1} + 1)}{n (n + 1)}$

Этап 6.7.3

Упростим.

$\frac{n^{\frac{1}{2}} (- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1)}{n (n + 1)}$

Этап 7

Перенесем $n^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n (n + 1) n^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 8

Умножим $n$ на $n^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем $n^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2}} n (n + 1)}$

Этап 8.2

Умножим $n^{- \frac{1}{2}}$ на $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем $n$ в степень $1$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2}} n^{1} (n + 1)}$

Этап 8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2} + 1} (n + 1)}$

Этап 8.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (n + 1)}$

Этап 8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{\frac{- 1 + 2}{2}} (n + 1)}$

Этап 8.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} + n + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Этап 9

Вынесем множитель $- 1$ из $- n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) + n + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Этап 10

Вынесем множитель $- 1$ из $n$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- n) + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Этап 11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- n)$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) + 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Этап 12

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) - 1 (- 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Этап 13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Этап 14

Перепишем $- (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)$ в виде $- 1 (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)$ .

$\frac{- 1 (n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1)}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Этап 15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$

Этап 16

Переделаем суммирование.

$\sum_{n = 4}^{\infty} - \frac{n^{\frac{1}{2}} {(n + 1)}^{\frac{1}{2}} - n - 1}{n^{\frac{1}{2}} (n + 1)}$