Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{4} + 1}}{x^{2} - 3 x + 5}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$

Этап 2.2.2

Разделим $9$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{1}{x^{4}}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{1}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$

Этап 2.6

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{4}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}$

Этап 4.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}$

Этап 6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 - 3 \cdot 0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 - 3 \cdot 0 + 5 \cdot 0}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{\sqrt{9}}{1 - 3 \cdot 0 + 5 \cdot 0}$

Этап 8.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{1 - 3 \cdot 0 + 5 \cdot 0}$

Этап 8.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3}{1 - 3 \cdot 0 + 5 \cdot 0}$

Этап 8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $- 3$ на $0$ .

$\frac{3}{1 + 0 + 5 \cdot 0}$

Этап 8.2.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{3}{1 + 0 + 0}$

Этап 8.2.3

Добавим $1 + 0$ и $0$ .

$\frac{3}{1 + 0}$

Этап 8.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3}{1}$

Этап 8.3

Разделим $3$ на $1$ .

$3$