Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 6}^{14} 9 i^{2}$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $i$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 6}^{14} 9 i^{2} = \sum_{k = 1}^{14} 9 i^{2} - \sum_{k = 1}^{5} 9 i^{2}$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{14} 9 i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $9$ за символ суммирования.

$9 \sum_{k = 1}^{14} i^{2}$

Этап 2.2

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 2.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(9) (\frac{14 (14 + 1) (2 \cdot 14 + 1)}{6})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Добавим $14$ и $1$ .

$9 \frac{14 \cdot 15 (2 \cdot 14 + 1)}{6}$

Этап 2.4.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Умножим $14$ на $15$ .

$9 \frac{210 (2 \cdot 14 + 1)}{6}$

Этап 2.4.1.2.2

Умножим $2$ на $14$ .

$9 \frac{210 (28 + 1)}{6}$

Этап 2.4.1.3

Добавим $28$ и $1$ .

$9 \frac{210 \cdot 29}{6}$

Этап 2.4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $210$ на $29$ .

$9 (\frac{6090}{6})$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 (3) \frac{6090}{6}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 \cdot 3 \frac{6090}{3 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 3 \frac{6090}{3 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{6090}{2})$

Этап 2.4.2.3

Объединим $3$ и $\frac{6090}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 6090}{2}$

Этап 2.4.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Умножим $3$ на $6090$ .

$\frac{18270}{2}$

Этап 2.4.2.4.2

Разделим $18270$ на $2$ .

$9135$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{5} 9 i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$9 \cdot 1^{2} + 9 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 3^{2} + \dots + 9 \cdot 5^{2}$

Этап 3.2

Упростим расширенную форму.

$495$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$9135 - 495$

Этап 5

Вычтем $495$ из $9135$ .

$8640$